アルキメデスの双子の円

幾何学において、アルキメデスの双子の円（アルキメデスのふたごのえん、テンプレート:Lang-en-short）は、アルベロスに対して定義される二つの特別な円である。アルベロスは共線点テンプレート:Mvarのうち2つを両端とする同じ側の半円で作られる領域（円弧三角形の特別の場合）である。テンプレート:Mvarの中央の点を通る、直線テンプレート:Mvarの垂線をテンプレート:Mvarとする。アルベロスをテンプレート:Mvarで2つの円弧三角形に分割する。2つの円弧三角形の辺、つまり、アルベロスを成す2つの円とテンプレート:Mvarに接する円をアルキメデスの双子の円という。

アルキメデスの双子の円はアルキメデスのテンプレート:仮リンクの命題5が初出であるとみられ、2円は合同であることが示されている^[1]。この書籍をアラビア語に翻訳したサービト・イブン・クッラはこの円の功績をアルキメデスに帰した。アルキメデスの円と合同な円の数々はテンプレート:仮リンクと呼ばれるが、これは後年の学者らに帰せられる^[2]。

構成

アルベロスの頂点をテンプレート:Mvarとする。ただしテンプレート:Mvarは線分テンプレート:Mvar内にあるとする。また、テンプレート:Mvarを、アルベロスを構築するもっとも大きい半円（テンプレート:Mvarを両端とする半円）とテンプレート:Mvarを通るテンプレート:Mvarの垂線の交点とする。L線分テンプレート:Mvarはアルベロスを2つの部分に分かつ。アルキメデスの双子の円はこの2つの部分の内接円である^[3]。

アルキメデスの双子の円は2つの接円と、その一方に接する直線におけるアポロニウスの問題の解となる。

アルキメデスの双子の円に合同な円、アルキメデスの円には、バンコフの円、Schoch の円テンプレート:Enlink、Wooの円テンプレート:Enlinkなどがある^[4]^[5]。

テンプレート:Mvarをアルベロスを成す小さい2円の直径とする。アルキメデスの双子の円の半径は次式で表される^[3]。

d = \frac{a b}{a + b} .

大きい円の直径を1とすれば、小さい2円の直径はそれぞれテンプレート:Mathとなって次のようにも表せる^[3]。

d = s (1 - s) .

相加相乗平均の関係式よりアルキメデスの双子の円の半径が最も大きくなる時は小さい2円の半径が一致するときである^[3]。

双子の円に接する円のうち、最も小さい円の半径は $\sqrt{a b}$ である^[7]。

↑ テンプレート:仮リンク(1897), The Works of Archimedes. ケンブリッジ大学出版局. Book of LemmasのProposition 5. 引用: "Let AB be the diameter of a semicircle, C any point on AB, and CD perpendicular to it, and let semicircles be described within the first semicircle and having AC, CB as diameters. Then if two circles be drawn touching CD on different sides and each touching two of the semicircles, the circles so drawn will be equal."
↑ テンプレート:Cite journal
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 テンプレート:Cite web
↑ Floor van Lamoen (2014), A catalog of over fifty Archimedean circles. Online document, accessed on 2014-10-08.
↑ Floor van Lamoen (2014), Circles (A61a) and (A61b): Dao pair. Online document, accessed on 2014-10-08.
↑ Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 9783662453063, S. 193–200
↑ Baptiste Gorin, Une étude de l'arbelos, p.6, prop. II.3.