アルクィン数のソースを表示

'''アルクィン数'''とは、: <math> \frac{x^3}{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)} = x^3 + x^5 + x^6 + 2x^7 + x^8 + 3x^9 + \cdots. </math>の[[冪級数]]の[[係数]]の[[数列]]であり、[[アルクィン]]にちなんでアルクィン数と呼ばれる。<ref name=oeis>{{Cite OEIS|sequencenumber=A005044 |name=Alcuin's sequence}}</ref>。

数列は
: 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14, 12, 16, 14, 19, 16, 21 ...{{OEIS|id=A005044 |name=Alcuin's sequence}}
と続く。

''n'' 番目のアルクィン数は、外周が ''n'' であるすべての辺が整数である三角形の数に対応する<ref name=oeis/>。外周が ''n'' +6 である、全ての辺の長さが互いに異なる整数である三角形でもある（それぞれの辺の長さに 1, 2, 3を足す）。代数的には、 1 ≤ ''a'' < ''b'' < ''c'' < ''a'' + ''b'', ''a'' + ''b'' + ''c'' = ''n'' + 6 となる(''a'', ''b'', ''c'') の組の数である。

最初の3つの0を除いた数列は、それぞれ ''n'' 個の空の樽、ワインが半分入った樽、そして満杯の樽を、樽とワインの量が等しくなるように3人に配ることができる方法の数である。この問題は、アルクィンの『Propositiones ad Acuendos Juvenes』（『Problem to Sharpen the Young<ref name=a>[https://www.jstor.org/stable/3620384 Problems to Sharpen the Young], John Hadley and David Singmaster, ''The Mathematical Gazette'', '''76''', #475 (March 1992), pp. 102&ndash;126.</ref> 』）の問12の一般化である。
この本では、
:問 12: ある父親がなくなり、その息子3人に、30個のフラスコを相続することとなった。そのうち10個は油で満たされ、また10個は油が半分だけ入っており、残り10個はからであった。フラスコと油を等しく相続せよ<ref>[https://www.jstor.org/stable/3620384 Problems to Sharpen the Young], John Hadley and David Singmaster, ''The Mathematical Gazette'', '''76''', #475 (March 1992), p. 109</ref>。
という形で掲載され、アルクィン数の 10+3 個目に対応する。そのため、5通りの解が存在する（1*5+0*5, 1*5+0*5, 0.5*10）（1*5+0*5, 1*4+0.5*2+0*4, 1*1+0.5*8+0*1）（1*5+0*5, 1*3+0.5*4+0*3, 1*2+0.5*6+0*2）（1*4+0.5*2+0*4, 1*4+0.5*2+0*4, 1*2+0.5*6+0*2）（1*4+0.5*2+0*4, 1*3+0.5*4+0*3, 1*3+0.5*4+0*3）

'''アルクィン数列'''という言葉は、1993年に出版された、数学ゲームを扱ったD. Olivastro の本『Ancient Puzzle: Classical Brainteasers and Other Timeless Mathematical Games of the Last 10 Centuries』に遡る<ref>{{citation|first1=Donald J.|last1=Binder|first2=Martin|last2=Erickson|title=Alcuin's Sequence|journal=American Mathematical Monthly|volume=119|issue=2|year=2012|pages=115–121|doi=10.4169/amer.math.monthly.119.02.115}}</ref>。

最初の3つの0を除いたアルクィン数列は、
: <math> \frac{1}{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)} = 1 + x^2 + x^3 + 2x^4 + x^5 + 3x^6 + \cdots </math>
の係数に一致する<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A266755}}</ref><ref name=wolfram>{{MathWorld|title = Alcuin's Sequence |id = AlcuinsSequence}}</ref>。この数列の方を単に「アルクィン数列」と呼ぶこともある<ref name=wolfram />。

また、閉形式では ''n'' 番目の（0を除かない場合 ''n'' + 3 番目）アルクィン数は
: <math>\frac{1}{288}\left(6n^{2}+54n+107+(-1)^{n}\left(18n+81+64\cos\left(\frac{1}{3}\pi n\right)\right)+36\left(\cos\left(\frac{1}{2}\pi n\right)-\sin\left(\frac{1}{2}\pi n\right)\right)\right)</math>
である<ref name=wolfram />。

== 脚注 ==
{{reflist}}

{{デフォルトソート:あるくいんすう}}
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