アーベル方程式のソースを表示

{{dablink|この項目では、特定の函数方程式について説明しています。未知函数についての3次の常微分方程式については{{仮リンク|第一種アーベル方程式|en|Abel equation of the first kind}}をご覧下さい。}}

[[数学]]において、[[ニールス・アーベル]]の名にちなむ'''アーベル方程式'''（アーベルほうていしき、{{Lang-en-short|Abel equation}}）とは、

:<math>f(h(x)) = h(x + 1)\,\!</math>

あるいは

:<math>\alpha(f(x))=\alpha(x)+1\!</math>

の形式で記述され、{{mvar|f}} の反復をコントロールする特殊な[[関数方程式|函数方程式]]のことを言う。

== 同値性 ==
上述の二つの方程式は同値である。実際、{{mvar|α}} を[[逆写像|可逆函数]]とすると、二番目の方程式は

:<math> \alpha^{-1}(\alpha(f(x)))=\alpha^{-1}(\alpha(x)+1)\,  </math>

のように書くことが出来る。すると {{math|''x'' {{=}}  ''α''<sup>−1</sup>(''y'')}} とすることで、この方程式は

::<math>f(\alpha^{-1}(y))=\alpha^{-1}(y+1)\,  </math>

のように書くことが出来る。既知とされる函数 {{math|''f''(''x'')}} に対して、問題は函数 {{math|''α''<sup>−1</sup>}} についての函数方程式を解くこととなる。また {{math|''α''<sup>−1</sup>(0)&nbsp;{{=}}&nbsp;1}} のような追加条件も必要となる可能性がある。

実パラメータ {{mvar|s}} に対して変数変換 {{math|''s''<sup>''α''(''x'')</sup> {{=}}  Ψ(''x'')}} を行うことで、アーベル方程式は有名な[[シュレーダーの方程式]] {{math|Ψ(''f''(''x'')) {{=}} ''s''&nbsp;Ψ(''x'')}} に書き換えることが出来る。

さらに変換 {{math|''F''(''x'') {{=}} exp(''s''<sup>''α''(''x'')</sup>)}} を施すことで、[[ボッチャーの方程式]] {{math|''F''(''f''(''x'')) {{=}} ''F''(''x'')<sup>''s''</sup>}} が得られる。

== 歴史 ==
はじめ、この方程式はより一般的な形式で記述されていた<ref name="abel">{{cite journal
| url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ru/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0001&DMDID=dmdlog6
| author= Abel, N.H. 
| coauthors=
| title= Untersuchung der Functionen zweier unabhängig veränderlichen Größen x und y, wie f(x, y), welche die Eigenschaft haben, ...
| journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
| volume=1
| pages=11–15
| year=1826
}}</ref>
<ref name="s">{{cite journal
| url=http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?handle=euclid.bams/1183421988&view=body&content-type=pdf_1
| author=A. R. Schweitzer
| coauthors=
| title=Theorems on functional equations
| journal= Bull. Amer. Math. Soc.
| volume=19
| issue=2
| pages= 51-106 
| year=1912
| doi=10.1090/S0002-9904-1912-02281-4 
}}</ref>。その方程式は、一変数の場合ですら非自明なもので、特別な解析が必要とされた<ref name="U1">{{cite journal
| url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/sm/sm134/sm13424.pdf
| author=G. Belitskii|author2=Yu. Lubish
| title=The real-analytic solutions of the Abel functional equations
| journal=[[:en:Studia Mathematica|Studia Mathematica]]
| volume=134
| issue=2
| pages=135–141
| year=1999
}}</ref><ref name="j">{{cite journal
| journal= Nonlinear Analysis: Hybrid Systems 
| volume=1
| issue=1
| year=2007
| pages=95–102
| doi=10.1016/j.nahs.2006.04.002       
| author=Jitka Laitochová
| title =Group iteration for Abel’s functional equation}} Studied is the Abel functional equation α(f(x))=α(x)+1</ref>。
 
線型変換函数の場合、解はコンパクトな形式で表現できる<ref name="linear">{{cite journal
| url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/sm/sm127/sm12716.pdf
| author=G. Belitskii|author2=Yu. Lubish
| title=The Abel equation and total solvability of linear functional equations
| journal=[[:en:Studia Mathematica|Studia Mathematica]]
| volume=127
| year=1998
| pages=81–89
}}</ref>。

== 特別な場合 ==

[[テトレーション]]の方程式は、{{math|''f'' {{=}} exp}} であるようなアーベル方程式の特別な場合である。

整数の議論の場合、アーベル方程式は再帰的な手順を表すものである。例えば

:<math>\alpha(f(f(x)))=\alpha(x)+2 ~ </math>

や

:<math>\alpha(f_n(x))=\alpha(x)+n ~</math>

などのようになる。

ファトウ座標は、[[ファトウ成分の分類|放物型不動点]]の近くでの離散力学系の局所的な挙動を記述する、アーベル方程式の解を表すものである<ref>Dudko, Artem (2012). [http://www.math.toronto.edu/graduate/Dudko-thesis.pdf  ''Dynamics of holomorphic maps: Resurgence of Fatou coordinates, and Poly-time computability of Julia sets''] Ph.D. Thesis </ref>。

== 関連項目 ==
* [[関数方程式|函数方程式]]
* [[反復合成写像|反復函数]]
* [[シュレーダーの方程式]]
* [[ボッチャーの方程式]]
* {{仮リンク|解析函数の無限合成|en|Infinite compositions of analytic functions}}

== 参考文献 ==
<references/>

{{DEFAULTSORT:ああへるほうていしき}}
[[Category:ニールス・アーベル]]
[[Category:関数方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]