アーベル方程式

数学において、ニールス・アーベルの名にちなむアーベル方程式（アーベルほうていしき、テンプレート:Lang-en-short）とは、

$f(h(x))=h(x+1)$

あるいは

$\alpha (f(x))=\alpha (x)+1$

の形式で記述され、テンプレート:Mvar の反復をコントロールする特殊な函数方程式のことを言う。

同値性

上述の二つの方程式は同値である。実際、テンプレート:Mvar を可逆函数とすると、二番目の方程式は

${\alpha }^{-1}(\alpha (f(x)))={\alpha }^{-1}(\alpha (x)+1)$

のように書くことが出来る。すると テンプレート:Math とすることで、この方程式は

$f({\alpha }^{-1}(y))={\alpha }^{-1}(y+1)$

のように書くことが出来る。既知とされる函数 テンプレート:Math に対して、問題は函数 テンプレート:Math についての函数方程式を解くこととなる。また テンプレート:Math のような追加条件も必要となる可能性がある。

実パラメータ テンプレート:Mvar に対して変数変換 テンプレート:Math を行うことで、アーベル方程式は有名なシュレーダーの方程式 テンプレート:Math に書き換えることが出来る。

さらに変換 テンプレート:Math を施すことで、ボッチャーの方程式 テンプレート:Math が得られる。

歴史

はじめ、この方程式はより一般的な形式で記述されていた 。その方程式は、一変数の場合ですら非自明なもので、特別な解析が必要とされた。

線型変換函数の場合、解はコンパクトな形式で表現できる。

特別な場合

テトレーションの方程式は、テンプレート:Math であるようなアーベル方程式の特別な場合である。

整数の議論の場合、アーベル方程式は再帰的な手順を表すものである。例えば

$\alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2$

や

$\alpha (f_n(x))=\alpha (x)+n$

などのようになる。

ファトウ座標は、放物型不動点の近くでの離散力学系の局所的な挙動を記述する、アーベル方程式の解を表すものである。

関連項目

• 函数方程式
• 反復函数
• シュレーダーの方程式
• ボッチャーの方程式
• テンプレート:仮リンク