ボッチャーの方程式

数学においてテンプレート:仮リンクの名にちなむボッチャーの方程式（ボッチャーのほうていしき、テンプレート:Lang-en-short）とは、次の函数方程式のことを言う。

$F(h(z))=(F(z){)}^n.$

但し、

• テンプレート:Mvar は、テンプレート:Mvar において位数 n ≥ 2 の超吸引的な不動点を持つ解析函数（すなわち、テンプレート:Mvar の近傍において $h(z)=a+c(z-a{)}^n+O((z-a{)}^{n+1})$ ）；
• テンプレート:Math は求める函数。

この函数方程式の対数は、シュレーダーの方程式に等しい。

解

テンプレート:仮リンクは1904年、F(a) = 0 であるような不動点 a のある近傍における解析解 F の存在を示した。この解はしばしば、ボッチャー座標（Böttcher coordinate）と呼ばれる（完全な証明は1920年、テンプレート:仮リンクによって与えられた。しかし彼は、元の公式については気付いていなかった）。

ボッチャー座標（シュレーダー函数の対数）は、函数 テンプレート:Math の不動点のある近傍において テンプレート:Mvar と共役になる。特に重要なケースは テンプレート:Math が次数 テンプレート:Mvar の多項式で、テンプレート:Mvar = ∞ である場合である。

応用

ボッチャーの方程式は、一変数の複素多項式の反復を研究する正則力学系の一分野において本質的な役割を果たす。

ボッチャー座標の大域的な性質については、ピエール・ファトゥとテンプレート:仮リンクおよびテンプレート:仮リンクによって研究された。

関連項目

• シュレーダーの方程式
• テンプレート:仮リンク