ウィッシャート分布のソースを表示

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'''ウィッシャート分布'''（ウィッシャートぶんぷ、{{lang-en-short|Wishart distribution}}）は、[[確率分布#確率分布の分類|連続型]]の[[確率分布]]である。

== 定義と性質 ==
互いに独立な {{mvar|n}} 個の {{mvar|p}} 変量の確率ベクトル <math>\boldsymbol{x}_1 ,\boldsymbol{x}_2 ,\dotsc,\boldsymbol{x}_n</math> が、平均が {{math|0}}、[[共分散行列]]が <math>\boldsymbol{\Sigma}</math> の多変量[[正規分布]] <math>N(0, \boldsymbol{\Sigma})</math> に従うとき、
:<math>\boldsymbol{A}=\sum_{i=1}^n \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{x}_i'</math>

は自由度 {{mvar|n}} のウィッシャート分布に従う。ここで {{math2|''n'' ≥ ''p''}} である。ウィッシャート分布は、<math>p, n, \boldsymbol{\Sigma}</math> をパラメータとして <math>W(\boldsymbol{\Sigma}, p, n)</math> と表記されることがあり、分布の分布を表すモデルである、と言える。

ウィッシャート分布の[[確率密度関数]]は以下の式で定義される。
:<math>f(\boldsymbol{A}) = \frac{|\boldsymbol{A}|^{(n-p-1)/2} \exp \left\{-\dfrac{1}{2} \operatorname{tr} \left( \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{A} \right) \right\}}
{2^{pn/2} \pi^{p(p-1)/4} | \boldsymbol{\Sigma} |^{n/2} \prod_{i=1}^p \Gamma \left( \dfrac{n-i+1}{2} \right)}</math>

<math>\operatorname{tr}</math> は行列の[[トレース (数学)|トレース]]である。
このとき、期待値は <math>n\boldsymbol{\Sigma}</math>、分散共分散行列は <math>2n\boldsymbol{\Sigma}\otimes\boldsymbol{\Sigma}</math> である。

<math>\boldsymbol{A}, \boldsymbol{\Sigma}</math> の成分をそれぞれ <math>a_{ij}, \sigma_{ij}</math> と表し、{{math2|''p'' {{=}} }}1 の場合を考え、<math>a_{11}/\sigma_{11}=\chi^2</math> と置くと、ウィッシャート分布の確率密度関数は以下の形に表され、ウィッシャート分布が[[カイ二乗分布]]を多変量に拡張したものであることが分かる。
:<math>f(a_{11})
= \frac{a_{11}^{n/2-1} \exp \left( -\dfrac{a_{11}}{2 \sigma_{11}} \right)}{2^{n/2} \sigma_{11}^{n/2} \Gamma \left( \dfrac{n}{2} \right)}
= \frac{1}{2^{n/2} \Gamma \left( \dfrac{n}{2} \right)} (\chi^2)^{n/2-1} \exp \left( -\frac{\chi^2}{2} \right)</math>

== 参考文献 ==
* 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
* B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典、朝倉書店 (2002).

== 関連項目 ==
* [[確率分布]]

== 外部リンク ==
* [http://ibisforest.org/index.php?Wishart分布 朱鷺の杜Wiki]
* [http://www.cbrc.jp/%7Etominaga/translations/gsl/ GSL reference manual Japanese version]

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{{確率分布の一覧}}

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