ウィーナー過程のソースを表示

{{Otheruses|[[確率過程]]|物理現象|ブラウン運動}}

[[ファイル:wiener_process_zoom.png|thumb|300px|一次元ウィーナー過程の一例]]

{{読み仮名|'''ウィーナー過程'''|ウィーナーかてい|{{lang-en-short|Wiener process}}}}は、[[ノーバート・ウィーナー]]の名にちなんだ連続時間[[確率過程]]である。[[数学]]における{{読み仮名|'''ブラウン運動'''|ブラウンうんどう|{{lang-en-short|Brownian motion}}}}とも。

== 概要 ==
ウィーナー過程は[[確率過程]]の一種であり、[[独立増分過程|レヴィ過程]]の代表例である。連続時間[[マルチンゲール]]の研究から生じ、様々な確率過程の基礎となる確率過程である。[[確率解析]]、[[拡散過程]]、[[ポテンシャル論]]においても重要な役割を果たす。

ウィーナー過程は[[応用数学]]、[[物理学]]、[[計算機科学]]、[[経済学]]などにもしばしば現れる（⇒ [[#応用]]）。

== 特徴づけ ==
ウィーナー過程 {{math|''W''<sub>''t''</sub>}} は次の条件
* {{math|1=''W''<sub>0</sub> = 0}}
* {{math|''W''<sub>''t''</sub>}} は[[ほとんど (数学)|ほとんど確実]]に（確率 1 で）連続
* {{math|''W''<sub>''t''</sub>}} は独立増分を持ち、{{math|0 &le; ''s'' &lt; ''t''}} なる任意の {{math|''s'', ''t''}} に対して、{{math|''W''<sub>''t''</sub> &minus; ''W''<sub>''s''</sub>}} は[[正規分布]] {{math|''N''(0, ''t'' &minus; ''s'')}} に従う
によって特徴付けられる。ここで、{{math|''N''(&mu;, &sigma;<sup>2</sup>)}} は[[期待値]] {{math|&mu;}}, [[分散 (統計学)|分散]] {{math|&sigma;<sup>2</sup>}} の[[正規分布]]を表す。
また独立増分とは、「{{math|0 &le; ''s'' &le; ''t'' &le; ''s&prime;'' &le; ''t&prime;''}} であるならば、{{math|''W''<sub>''t''</sub> &minus; ''W''<sub>''s''</sub>}} と {{math|''W''<sub>''t&prime;''</sub> &minus; ''W''<sub>''s&prime;''</sub>}} とが[[独立 (確率論)|独立]]な[[確率変数]]となる」ことを意味する。

レヴィ条件 {{lang|en|(''Lévy characterization'')}} からウィーナー過程を特徴づけられる。この場合、ウィーナー過程は、ほとんど確実に連続な[[マルチンゲール]]で {{math|1=''W''<sub>0</sub> = 0}} かつ[[二次変分]] {{math|[''W''<sub>''t''</sub>, ''W''<sub>''t''</sub>]}} が {{mvar|t}} になるものとして特徴づけられる。

また、係数が標準正規分布 {{math|''N''(0, 1)}} に従う独立な確率変数であるような正弦級数で表されるスペクトル表現を持つ確率過程としてウィーナー過程を特徴付ける方法もある。このような表現は{{仮リンク|カルーネン-レーヴェの定理|en|Karhunen-Loève theorem}}を用いることで得られる。

平均 0, 分散 1 の[[独立同分布]]な離散時間連鎖のスケーリングの極限は、ウィーナー過程に確率収束する（{{仮リンク|ドンスカーの定理|en|Donsker's theorem}}）。[[ランダムウォーク|酔歩]]と同様にウィーナー過程は、一次元または二次元において再帰的 {{lang|en|(recurrent)}} （つまり、出発点の半径任意の[[近傍]]に確率 1 で無限回戻ってくる）となるが、三次元以上では過渡的である。酔歩と異なる点は、それが[[スケール不変]]であることである。つまりいかなる非零定数 {{math|&alpha; &ne; 0}} についても

<math display="block">
\alpha^{-1}W_{\alpha^2 t}
</math>

はウィーナー過程となる。'''ウィーナー測度'''はウィーナー過程によって誘導される、{{math|1=''g''(0) = 0}} を満たす[[連続関数]] {{mvar|g}} たちの成す関数空間上の確率分布である。ウィーナー測度に基づいて定義される積分を'''ウィーナー積分'''と呼ぶことがある。

== 一次元ウィーナー過程 ==
時刻 {{mvar|t}} における[[確率密度関数]]は

<math display="block">f_X(x;t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \alpha t}} e^{-x^2/{2 \alpha t} }</math>

[[期待値]]は

<math display="block">\mu _X = 0</math>

時刻 {{math|''t''<sub>1</sub>, ''t''<sub>2</sub>}} 間の[[共分散]]・[[相関]]は

<math display="block">R_{XX} (t_1, t_2) = K_{XX} (t_1, t_2) = \alpha \min\{ t_1, t_2 \}\,</math>

でそれぞれ与えられる{{sfn|Stark|Woods|2002}}。

== 応用 ==
{{出典の明記| date = 2025年2月| section = 1}}
ウィーナー過程は様々な分野で応用される。以下はその一例である：

* [[応用数学]]
** [[ホワイトノイズ]]の積分
* [[物理学]]
** [[ブラウン運動]]: 浮遊する微粒子の拡散現象。ウィーナー過程がこの現象の直接的な[[数理モデル]]。
** 拡散: [[フォッカー-プランク方程式]]や[[ランジュバン方程式]]
* [[工学]]
** [[レッドノイズ]]: [[周波数スペクトル]]が <math>f^{-2}</math> に比例するノイズ。ウィーナー過程がこのノイズの直接的な数理モデル。
** [[制御理論]]: 未知の力 (unknown force) などの数理モデル
* [[経済学]]
** [[ブラック-ショールズ方程式|ブラックとショールズのオプション価格モデル]]
* [[電子フィルター|フィルタリング理論]]: 機器誤差の表現

こういった応用は[[量子力学]]における[[経路積分]]の厳密な定式化（ウィーナー積分として表される[[シュレーディンガー方程式]]の解である[[ファインマン-カッツの公式]]によるもの）や[[宇宙論]]における[[永久インフレーション]]の研究の基礎を形成している。

== 関連のある確率過程 ==
以下のように定義される確率過程

<math display="block">
X_t = \mu t + \sigma W_t
</math>

はドリフト項 {{math|&mu;}} と無限小分散 {{math|&sigma;<sup>2</sup>}} を持つウィーナー過程と呼ばれる。

ウィーナー過程に、条件 {{math|1=''W''<sub>0</sub> = ''W''<sub>1</sub> = 0}} が与えられることによって定まる条件付確率分布を{{仮リンク|ブラウン橋|en|Brownian bridge}}と呼ぶ。

[[幾何ブラウン運動]]は

<math display="block">
\exp{\left[\beta t-\left({\alpha^2 t \over 2}\right)+\alpha W_t\right]}
</math>

と表され、株価のように決して負の値をとることのない確率過程のモデルとして用いられる。

== 関連項目 ==
* [[抽象ウィーナー空間]]
* [[古典ウィーナー空間]]
* [[ブラウン運動]]
* [[レッドノイズ]]

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
 |last=Kleinert
 |first=Hagen
 |title=Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets
 |edition=4th
 |publisher=World Scientific
 |date=2004
 |isbn=981-238-107-4 
 |url=http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b5
 |ref=harv
}}
* {{cite book
 |last=Stark
 |first=Henry
 |last2=Woods
 |first2=John W.
 |title=Probability and Random Processes with Applications to Signal Processing
 |edition=3rd
 |publisher=Prentice Hall
 |date=2002
 |isbn=0-13-020071-9
 |ref=harv
}}

{{確率論}}
{{DEFAULTSORT:ういいなあかてい}}
[[Category:確率過程]]
[[Category:マルチンゲール理論]]
[[Category:ノーバート・ウィーナー]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]