ウィーナー過程

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テンプレート:Otheruses

一次元ウィーナー過程の一例

テンプレート:読み仮名は、ノーバート・ウィーナーの名にちなんだ連続時間確率過程である。数学におけるテンプレート:読み仮名とも。

概要

ウィーナー過程は確率過程の一種であり、レヴィ過程の代表例である。連続時間マルチンゲールの研究から生じ、様々な確率過程の基礎となる確率過程である。確率解析、拡散過程、ポテンシャル論においても重要な役割を果たす。

ウィーナー過程は応用数学、物理学、計算機科学、経済学などにもしばしば現れる（⇒ #応用）。

特徴づけ

ウィーナー過程 テンプレート:Math は次の条件

によって特徴付けられる。ここで、テンプレート:Math は期待値 テンプレート:Math, 分散 テンプレート:Math の正規分布を表す。 また独立増分とは、「テンプレート:Math であるならば、テンプレート:Math と テンプレート:Math とが独立な確率変数となる」ことを意味する。

レヴィ条件 テンプレート:Lang からウィーナー過程を特徴づけられる。この場合、ウィーナー過程は、ほとんど確実に連続なマルチンゲールで テンプレート:Math かつ二次変分 テンプレート:Math が テンプレート:Mvar になるものとして特徴づけられる。

また、係数が標準正規分布 テンプレート:Math に従う独立な確率変数であるような正弦級数で表されるスペクトル表現を持つ確率過程としてウィーナー過程を特徴付ける方法もある。このような表現はテンプレート:仮リンクを用いることで得られる。

平均 0, 分散 1 の独立同分布な離散時間連鎖のスケーリングの極限は、ウィーナー過程に確率収束する（テンプレート:仮リンク）。酔歩と同様にウィーナー過程は、一次元または二次元において再帰的 テンプレート:Lang （つまり、出発点の半径任意の近傍に確率 1 で無限回戻ってくる）となるが、三次元以上では過渡的である。酔歩と異なる点は、それがスケール不変であることである。つまりいかなる非零定数 テンプレート:Math についても

α−1Wα2t

はウィーナー過程となる。ウィーナー測度はウィーナー過程によって誘導される、テンプレート:Math を満たす連続関数 テンプレート:Mvar たちの成す関数空間上の確率分布である。ウィーナー測度に基づいて定義される積分をウィーナー積分と呼ぶことがある。

一次元ウィーナー過程

時刻 テンプレート:Mvar における確率密度関数は

fX(x;t)=12παte−x2/2αt

期待値は

μX=0

時刻 テンプレート:Math 間の共分散・相関は

RXX(t1,t2)=KXX(t1,t2)=αmin⁡{t1,t2}

でそれぞれ与えられるテンプレート:Sfn。

応用

テンプレート:出典の明記 ウィーナー過程は様々な分野で応用される。以下はその一例である：

こういった応用は量子力学における経路積分の厳密な定式化（ウィーナー積分として表されるシュレーディンガー方程式の解であるファインマン-カッツの公式によるもの）や宇宙論における永久インフレーションの研究の基礎を形成している。

関連のある確率過程

以下のように定義される確率過程

Xt=μt+σWt

はドリフト項 テンプレート:Math と無限小分散 テンプレート:Math を持つウィーナー過程と呼ばれる。

ウィーナー過程に、条件 テンプレート:Math が与えられることによって定まる条件付確率分布をテンプレート:仮リンクと呼ぶ。

幾何ブラウン運動は

exp⁡[βt−(α2t2)+αWt]

と表され、株価のように決して負の値をとることのない確率過程のモデルとして用いられる。

関連項目

出典

テンプレート:脚注ヘルプ テンプレート:Reflist

参考文献

テンプレート:確率論

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