独立増分過程

加法過程（かほうかてい、テンプレート:Lang-en-short）または独立増分過程（どくりつぞうぶんかてい、テンプレート:Lang-en-short）とは、確率過程の一種であり、独立増分性によって特徴付けられる。ポール・ピエール・レヴィ([[:en:Paul Pierre Lévy|テンプレート:Fr]])、アレクサンドル・ヒンチンなどによって詳しく調べられた。代表的かつ典型的な加法過程の例として、ウィーナー過程(ブラウン運動)がある。

定義

加法過程

確率空間$(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$で定義された ${ℝ}^d$ -値確率過程 $X=\{X_t{\}}_{t\ge 0}$ が加法過程であるとは次の条件をみたすときをいう:

1. $X_0=0$　a.s.
2. 任意の $t\ge 0,\epsilon >0$ に対して、$\underset{h\to 0}{\lim }P(|X_{t+h}-X_t|>\epsilon )=0$.
3. $P({\mathrm{\Omega }}_0)=1$ を満たす ${\mathrm{\Omega }}_0\in ℱ$ が存在して、任意の $\omega \in {\mathrm{\Omega }}_0$ に対して $X_t(\omega ):t\mapsto X_t(\omega )$ は右連続かつ左極限をもつ。
4. 任意の $n=1,2,\dots$ と $0\le t_0<t_1<\cdots <t_n<\mathrm{\infty }$ に対して、$X_{t_0},X_{t_1}-X_{t_0},\dots ,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}$ は独立。

2. を確率連続性、3. をcàdlàg性、4. を独立増分性という。

レヴィ過程

確率過程 $X=\{X_t{\}}_{t\ge 0}$ がレヴィ過程であるとは、加法過程であって次の条件をみたすときをいう:

• 任意の $s\ge 0$ に対して、$X_{t+s}-X_t$ の分布は $t$ には依存しない。

この条件を時間的一様性(time homogeneity)、または定常増分性という。

関連項目

• 自己相似過程
• 非整数ブラウン運動
• ガウス過程
• マルコフ過程
• 確率微分方程式
• 数理ファイナンス

参考文献

• A.Khintchine, A new derivation of a formula by. P. Lévy, Bull. Moscow Gov. Univ. 1, No. 1, 1-5.
• P.Lévy. Sur les intégrales dont les éléments sont des variables aléatoires indépendentes, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (2) 3, 337-366.(PDF-files)