ウィーンの変位則のソースを表示

[[FILE:Wiens law.svg|thumb|300px|各温度における黒体輻射のエネルギー密度の波長ごとのスペクトル]]
'''ウィーンの変位則'''（ウィーンのへんいそく、{{lang-en-short|Wien's displacement law}}）とは、[[黒体]]からの[[輻射]]のピークの[[波長]]が[[温度]]に[[反比例]]するという法則である。

[[ヴィルヘルム・ヴィーン]]によって発見された。

なお、ヴィーンはドイツの物理学者であるため「ヴィーン」が正しい名称となるが、慣習的に英語読みの'''ウィーンの変位則'''と呼ばれることも多い。
==関係式==
:<math>\lambda_\text{max}=\frac{b}{T}</math>
ここで {{mvar|T}} は黒体の[[絶対温度]]、{{math|''&lambda;''{{sub|max}}}} はピーク波長、{{mvar|b}} は[[比例定数]]であり、

その値は
:<math>b=</math> {{val|2.897771955|end=...|e=-3|u=m&sdot;K}}
である<ref>{{Cite web|url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?bwien|title=CODATA 2018, Wien wavelength displacement law constant|publisher=[[アメリカ国立標準技術研究所|NIST]]|accessdate=2022-03-06}}</ref>。

== 例 ==
物体の温度が高ければ、放射される波長は短くなる。例えば、[[太陽]]の表面温度 5780 K の場合ピーク波長は 500 nm にある。
[[白熱電球]]をみると、温度の低い時、黄色っぽい光になりさらに温度が低い時赤くみえる（[[色温度]]も参照）。

== 導出 ==
[[ヴィルヘルム・ヴィーン]]によって発見されたが、[[プランクの法則|プランクの式]]から導くことができる。

プランクの式によると、黒体輻射の分光エネルギー密度 {{mvar|u}} は次式で表される：
:<math>u(\lambda,T)=\frac{8\pi hc}{\lambda^5}\,\frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1}</math>

波長の最大値 {{math|''&lambda;''{{sub|max}}}} を求めるために、波長分布 {{math|''u''(''&lambda;'')}} を {{mvar|&lambda;}} で偏微分して、0 になる波長を求めればよい。
:<math>\begin{align}
\frac{\partial u(\lambda_\mathrm{max}, T)}{\partial \lambda} = 8\pi hc\left(\frac{hc}{kT \lambda_\text{max}^7}\frac{\exp(hc/\lambda_\text{max}kT)}{\left(\exp(hc/\lambda_\text{max}kT)-1\right)^2}-\frac{1}{\lambda_\mathrm{max}^6}\frac{5}{\exp(hc/\lambda_\text{max}kT)-1}\right) =0 \\
\therefore\frac{hc}{\lambda_\mathrm{max}kT}\,\frac{1}{1-\exp(-hc/\lambda_\text{max}kT)}-5=0
\end{align}</math>

ここで {{math|''x'' {{=}} ''hc''/''&lambda;''{{sub|max}}''kT''}} とすると、
:<math>\frac{x}{1-e^{-x}}-5=0</math>
となる。この解は[[ランベルトのW関数]]で、
:<math> x = W(-5e^{-5})+5 \approx 4.965114231744276</math>
と表される。{{mvar|x}} から {{math|''&lambda;''{{sub|max}}}} を求めると、
:<math>\lambda_\text{max}=\frac{hc}{xkT} = \frac{b}{T},\quad b = \frac{hc}{xk} \approx 2.897~772\times10^{-3}~\text{m K}</math>
を得る。

=== 別の導出 ===
振動数で表示されたプランクの公式
:<math>R(\nu)=\frac{8\pi h}{c^3}\frac{\nu^3}{e^{h\nu/kT}-1}</math>
を用いても、同様の導出が可能である。この場合、{{math|''x'' {{=}} ''h&nu;''{{sub|max}}/''kT''}} は
:<math>\left(3-x\right)e^x=3</math>
の解で、
:<math>x = W(-3e^{-3})+3 \approx 2.8214</math>
となる。したがってピークにおける振動数は
:<math>\nu_{\mathrm{max}} = \frac{xk}{h}T,\quad \frac{xk}{h}=5.878~925~757\text{...} \times 10^{10}~\text{Hz}/\text{K}</math>
となる。<math>\lambda_\mathrm{max}\nu_\mathrm{max}=c</math> ではないことに注意が必要である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
;出典
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[黒体]] - 黒体放射(黒体輻射)
* [[色温度]]
* [[放射温度計]]
* [[パイロメーター]]
* [[キルヒホッフの法則 (放射エネルギー)|キルヒホッフの法則]]
* [[プランクの法則]]
* [[ヴィーンの放射法則]]
* [[レイリー・ジーンズの法則]]
* [[シュテファン＝ボルツマンの法則]]
* [[佐久間＝服部方程式]]（[[:en:Sakuma-Hattori equation|en]]）
* [[光波妨害技術]]

{{黒体放射}}
{{DEFAULTSORT:ういいんのへんいそく}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:統計力学]]
[[Category:熱放射]]
[[Category:物理学のエポニム]]
[[Category:実験式]]