ウィーンの変位則

各温度における黒体輻射のエネルギー密度の波長ごとのスペクトル

ウィーンの変位則（ウィーンのへんいそく、テンプレート:Lang-en-short）とは、黒体からの輻射のピークの波長が温度に反比例するという法則である。

ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見された。

なお、ヴィーンはドイツの物理学者であるため「ヴィーン」が正しい名称となるが、慣習的に英語読みのウィーンの変位則と呼ばれることも多い。

関係式

${\lambda }_{\text{max}}=\frac{b}{T}$

ここで テンプレート:Mvar は黒体の絶対温度、テンプレート:Math はピーク波長、テンプレート:Mvar は比例定数であり、

その値は

$b=$ テンプレート:Val

である。

例

物体の温度が高ければ、放射される波長は短くなる。例えば、太陽の表面温度 5780 K の場合ピーク波長は 500 nm にある。 白熱電球をみると、温度の低い時、黄色っぽい光になりさらに温度が低い時赤くみえる（色温度も参照）。

導出

ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見されたが、プランクの式から導くことができる。

プランクの式によると、黒体輻射の分光エネルギー密度 テンプレート:Mvar は次式で表される：

$u(\lambda ,T)=\frac{8\pi hc}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1}$

波長の最大値 テンプレート:Math を求めるために、波長分布 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar で偏微分して、0 になる波長を求めればよい。

$\begin{array}{c}\frac{\partial u({\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},T)}{\partial \lambda }=8\pi hc(\frac{hc}{kT{\lambda }_{\text{max}}^7}\frac{\exp (hc/{\lambda }_{\text{max}}kT)}{{(\exp (hc/{\lambda }_{\text{max}}kT)-1)}^2}-\frac{1}{{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^6}\frac{5}{\exp (hc/{\lambda }_{\text{max}}kT)-1})=0\\ \therefore \frac{hc}{{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}kT}\frac{1}{1-\exp (-hc/{\lambda }_{\text{max}}kT)}-5=0\end{array}$

ここで テンプレート:Math とすると、

$\frac{x}{1-e^{-x}}-5=0$

となる。この解はランベルトのW関数で、

$x=W(-5e^{-5})+5\approx 4.965114231744276$

と表される。テンプレート:Mvar から テンプレート:Math を求めると、

${\lambda }_{\text{max}}=\frac{hc}{xkT}=\frac{b}{T},b=\frac{hc}{xk}\approx 2.897772\times 10^{-3}\text{m K}$

を得る。

別の導出

振動数で表示されたプランクの公式

$R(\nu )=\frac{8\pi h}{c^3}\frac{{\nu }^3}{e^{h\nu /kT}-1}$

を用いても、同様の導出が可能である。この場合、テンプレート:Math は

$(3-x)e^x=3$

の解で、

$x=W(-3e^{-3})+3\approx 2.8214$

となる。したがってピークにおける振動数は

${\nu }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{xk}{h}T,\frac{xk}{h}=5.878925757\text{...}\times 10^{10}\text{Hz}/\text{K}$

となる。${\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\nu }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=c$ ではないことに注意が必要である。

脚注

出典

関連項目

• 黒体 - 黒体放射(黒体輻射)
• 色温度
• 放射温度計
• パイロメーター
• キルヒホッフの法則
• プランクの法則
• ヴィーンの放射法則
• レイリー・ジーンズの法則
• シュテファン＝ボルツマンの法則
• 佐久間＝服部方程式（en）
• 光波妨害技術