ウェダーバーンの小定理のソースを表示

[[数学]]において、'''ウェダーバーンの小定理''' ({{lang-en-short|Wedderburn's little theorem}}) はすべての[[有限集合|有限]][[非可換整域|域]]が[[可換体|体]]<ref>本記事において「体」は「可換体」を意味する。</ref>であることを述べるものである。言い換えると、{{仮リンク|有限環|en|finite ring}}において、域、[[斜体 (数学)|斜体]]、体の違いはない。

{{仮リンク|アルティン・ツォルンの定理|en|Artin–Zorn theorem}}はこの定理を[[交代環]]へと一般化する： すべての有限単純交代環は体である<ref>{{cite book | last=Shult | first=Ernest E. | title=Points and lines. Characterizing the classical geometries | series=Universitext | location=Berlin | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2011 | isbn=978-3-642-15626-7 | zbl=1213.51001 | page=123 }}</ref>。

== 歴史 ==
最初の証明は {{仮リンク|ジョセフ・ウェダーバーン|label=Joseph Wedderburn|en|Joseph Wedderburn}} によって1905年に与えられ<ref name="Lam-2001-p204">Lam (2001), [{{Google books|plainurl=y|id=f15FyZuZ3-4C|page=204|text=little}} p. 204]</ref>、彼はその後2つの別証を与えた。別の証明は [[レオナード・E・ディクソン|Leonard Eugene Dickson]] によって Wedderburn の最初の証明のすぐ後に与えられ、Dickson は Wedderburn が先であることを認めていた。しかしながら、{{Harv|Parshall|1983}} に述べられているように、Wedderburn の最初の証明は正しくなく――飛躍があり――彼の次の証明は Dickson の正しい証明を読んだ後に現れたのだった。そのため、Parshall は最初の正しい証明は Dickson に帰するべきだと主張している。

後に簡潔な証明が [[エルンスト・ヴィット|Ernst Witt]] によって与えられた<ref name="Lam-2001-p204"/>。Witt の証明の概略は下で与えられる。また別の方法は、定理は以下の議論によって {{仮リンク|スコレム・ネーターの定理|label=Skolem–Noether の定理|en|Skolem–Noether theorem}} の帰結である<ref>Theorem 4.1 in Ch. IV of Milne, class field theory, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html</ref>。''D'' を有限可除代数で中心を ''k'' とする。{{math|1=[''D'' : ''k''] = ''n''<sup>2</sup>}} とし ''q'' を ''k'' の濃度とする。''D'' のすべての極大部分体は ''q<sup>n</sup>'' 個の元を持つ。なのでそれらは同型でありしたがって Skolem–Noether によって共役である。しかし有限群（今の場合 ''D'' の乗法群）は真の部分群の共役の和集合ではありえない。したがって {{math|1=''n'' = 1}} である。

== 有限体の Brauer 群との関係 ==
定理は本質的に、有限体の[[ブラウアー群| Brauer 群]]が自明であると言うことと同値である。実は、この特徴づけから直ちに以下のように定理の証明が出る。''k'' を有限体とする。{{仮リンク|エルブラン商|label= Herbrand 商|en|Herbrand quotient}}は有限性によって消えるから、<math>\operatorname{Br}(k) = H^2(k^{\text{al}}/k)</math> は <math>H^1(k^{\text{al}}/k)</math> と一致し、これは[[ヒルベルトの定理90]]によって消える。

== 証明の概略 ==
''A'' を有限域とする。''A'' の各元 ''x''&nbsp;≠&nbsp;0 に対し、2 つの写像
:<math>a \mapsto ax, a \mapsto xa: A \to A</math>
は cancellation property によって単射であり、したがって有限性から全射である。基本的な群論から<ref>e.g., Exercise 1.9 in Milne, group theory, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf</ref>''A'' の非零元全体は乗法について群をなすことが従う。したがって、''A'' は[[可除環|斜体]]である。''A'' の[[群の中心|中心]] ''Z''(''A'') は体であるから、''A'' は ''Z''(''A'') 上有限 ''n'' 次元のベクトル空間である。すると我々の目標は {{math|1=''n'' = 1}} を示すことである。''q'' を ''Z''(''A'') の位数とすると、''A'' の位数は ''q<sup>n</sup>'' である。中心に入っていない各 {{math|''x'' &isin; ''A''}} に対して、''x'' の[[中心化群と正規化群| centralizer]] ''Z<sub>x</sub>'' の位数は ''q<sup>d</sup>'' である。ここに ''d'' は ''n'' より小さい ''n'' の約数である。''Z''(''A'')<sup>*</sup>, ''Z''<sub>''x''</sub><sup>*</sup>, ''A''<sup>*</sup> を乗法について群と見て、[[類等式]]を次のように書ける
:<math>q^n - 1 = q - 1 + \sum {q^n - 1 \over q^d - 1}</math>
ただし和は ''Z''(''A'') に入っていないすべての代表元 ''x'' を渡り、''d'' は上で議論された数である。''q<sup>n</sup>''−1 と ''q<sup>d</sup>''−1 はともに[[円分多項式]] <math>\Phi_f(q)</math> のことばによって分解できる。

多項式の恒等式
:<math>x^n-1 = \prod_{m|n} \Phi_m(x)</math>　および　<math>x^d-1 = \prod_{m|d} \Phi_m(x)</math>

から、{{math|1=''x'' = ''q''}} とおくと、
:<math>\Phi_n(q)</math>　は ''q<sup>n</sup>''−1 と <math>{q^n - 1 \over q^d - 1}</math> をともに割り切る

ことがわかるので、上の類等式によって <math>\Phi_n(q)</math> は ''q''−1 を割らなければならず、したがって
:<math>|\Phi_n(q)| \leq q-1</math>.<!-- I admit this part is too sketchy; need more details, in particular, for those without knowledge of cyclotomic polynomials. But I don't think any fancy theorems are needed here. -- Taku --> 

これによって ''n'' が 1 でなければならないことを見るために、{{math|''n'' > 1}} に対して
:<math>|\Phi_n(q)| > q-1</math> 

であることを、複素数上の分解を用いて示す。多項式の恒等式
:<math>\Phi_n(x) = \prod (x - \zeta)</math>, 

ただし ζ は 1 の原始 ''n'' 乗根を渡る、において、''x'' を ''q'' とし、絶対値を取ると
:<math>|\Phi_n(q)| = \prod |q - \zeta|</math>. 

''n'' > 1 に対して
:<math>|q-\zeta| > |q-1|</math> 

であることが、複素平面での ''q'', 1, ζ の位置を見れば分かる。したがって
:<math>|\Phi_n(q)| > q-1</math>.

== 脚注 ==
<references />

== 参考文献 ==
* {{cite journal | last = Parshall | first = K. H. | year = 1983 | title = In pursuit of the finite division algebra theorem and beyond: Joseph H M Wedderburn, Leonard Dickson, and Oswald Veblen | journal = Archives of International History of Science | volume = 33 | pages = 274–99|authorlink=Karen Parshall}}
* {{cite book |last1=Lam |first1=Tsit-Yuen |authorlink1= |last2= |first2= |authorlink2= |title=A first course in noncommutative rings |url= |edition=2 |series=Graduate texts in mathematics |volume=131 |year=2001 |publisher=Springer |location= |isbn=0-387-95183-0 |id= }}

== 外部リンク ==
*[http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3627 Proof of Wedderburn's Theorem at Planet Math]

{{DEFAULTSORT:うえたあはあんのしようていり}}
[[Category:環論]]
[[Category:抽象代数学の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]