ウェダーバーンの小定理

数学において、ウェダーバーンの小定理 (テンプレート:Lang-en-short) はすべての有限域が体であることを述べるものである。言い換えると、テンプレート:仮リンクにおいて、域、斜体、体の違いはない。

テンプレート:仮リンクはこの定理を交代環へと一般化する： すべての有限単純交代環は体である。

歴史

最初の証明は テンプレート:仮リンク によって1905年に与えられ、彼はその後2つの別証を与えた。別の証明は Leonard Eugene Dickson によって Wedderburn の最初の証明のすぐ後に与えられ、Dickson は Wedderburn が先であることを認めていた。しかしながら、テンプレート:Harv に述べられているように、Wedderburn の最初の証明は正しくなく――飛躍があり――彼の次の証明は Dickson の正しい証明を読んだ後に現れたのだった。そのため、Parshall は最初の正しい証明は Dickson に帰するべきだと主張している。

後に簡潔な証明が Ernst Witt によって与えられた。Witt の証明の概略は下で与えられる。また別の方法は、定理は以下の議論によって テンプレート:仮リンク の帰結である。D を有限可除代数で中心を k とする。テンプレート:Math とし q を k の濃度とする。D のすべての極大部分体は qⁿ 個の元を持つ。なのでそれらは同型でありしたがって Skolem–Noether によって共役である。しかし有限群（今の場合 D の乗法群）は真の部分群の共役の和集合ではありえない。したがって テンプレート:Math である。

有限体の Brauer 群との関係

定理は本質的に、有限体の Brauer 群が自明であると言うことと同値である。実は、この特徴づけから直ちに以下のように定理の証明が出る。k を有限体とする。テンプレート:仮リンクは有限性によって消えるから、$\mathrm{Br}(k)=H^2(k^{\text{al}}/k)$ は $H^1(k^{\text{al}}/k)$ と一致し、これはヒルベルトの定理90によって消える。

証明の概略

A を有限域とする。A の各元 x ≠ 0 に対し、2 つの写像

$a\mapsto ax,a\mapsto xa:A\to A$

は cancellation property によって単射であり、したがって有限性から全射である。基本的な群論からA の非零元全体は乗法について群をなすことが従う。したがって、A は斜体である。A の中心 Z(A) は体であるから、A は Z(A) 上有限 n 次元のベクトル空間である。すると我々の目標は テンプレート:Math を示すことである。q を Z(A) の位数とすると、A の位数は qⁿ である。中心に入っていない各 テンプレート:Math に対して、x の centralizer Z_x の位数は q^d である。ここに d は n より小さい n の約数である。Z(A)^*, Z_x^*, A^* を乗法について群と見て、類等式を次のように書ける

$q^n-1=q-1+\sum \frac{q^n-1}{q^d-1}$

ただし和は Z(A) に入っていないすべての代表元 x を渡り、d は上で議論された数である。qⁿ−1 と q^d−1 はともに円分多項式 ${\mathrm{\Phi }}_f(q)$ のことばによって分解できる。

多項式の恒等式

$x^n-1=\prod _{m|n}{\mathrm{\Phi }}_m(x)$　および　$x^d-1=\prod _{m|d}{\mathrm{\Phi }}_m(x)$

から、テンプレート:Math とおくと、

${\mathrm{\Phi }}_n(q)$　は qⁿ−1 と $\frac{q^n-1}{q^d-1}$ をともに割り切る

ことがわかるので、上の類等式によって ${\mathrm{\Phi }}_n(q)$ は q−1 を割らなければならず、したがって

$|{\mathrm{\Phi }}_n(q)|\le q-1$.

これによって n が 1 でなければならないことを見るために、テンプレート:Math に対して

$|{\mathrm{\Phi }}_n(q)|>q-1$

であることを、複素数上の分解を用いて示す。多項式の恒等式

${\mathrm{\Phi }}_n(x)=\prod (x-\zeta )$,

ただし ζ は 1 の原始 n 乗根を渡る、において、x を q とし、絶対値を取ると

$|{\mathrm{\Phi }}_n(q)|=\prod |q-\zeta |$.

n > 1 に対して

$|q-\zeta |>|q-1|$

であることが、複素平面での q, 1, ζ の位置を見れば分かる。したがって

$|{\mathrm{\Phi }}_n(q)|>q-1$.

参考文献

• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite book

外部リンク

• Proof of Wedderburn's Theorem at Planet Math