中心化群と正規化群
数学、とくに群論において、群 テンプレート:Mvar の部分集合 テンプレート:Mvar の中心化群 (テンプレート:Lang-en-short) とは、テンプレート:Mvar の各元と可換な テンプレート:Mvar の元全体からなる集合であり、テンプレート:Mvar の正規化群 (normalizer) とは、「全体で」テンプレート:Mvar と可換な テンプレート:Mvar の元全体からなる集合である。テンプレート:Mvar の中心化群と正規化群は テンプレート:Mvar の部分群であり、テンプレート:Mvar の構造について知る手掛かりを得られる。
定義
群 テンプレート:Mvar の部分集合 テンプレート:Mvar の中心化群 (centralizer) は次で定義される[1]。
文脈から群 テンプレート:Mvar が明らかなときには、表記 テンプレート:Math から テンプレート:Mvar を省くことがある。また テンプレート:Mvar が単集合 テンプレート:Math} のときには中心化群 テンプレート:Math は テンプレート:Math と略記される。この中心化群の別の表記として テンプレート:Math もあるが、これはあまり一般的でなく、群の中心の表記と同じになってしまう。この表記では、群 テンプレート:Mvar の中心 テンプレート:Math と元 テンプレート:Math の中心化群 テンプレート:Math とを混同しないよう注意しなければならない。
群 テンプレート:Mvar における テンプレート:Mvar の正規化群 (normalizer) は次で定義される。
中心化群の定義と似ているが同じではない。テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の中心化群の元で テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の元であれば、テンプレート:Math でなければならないが、テンプレート:Mvar が正規化群の元であれば、テンプレート:Mvar とは異なってもよい テンプレート:Math に対して テンプレート:Math である。中心化群のときに述べた、テンプレート:Mvar を省いたり単集合のときにブレース（中括弧）を省いたりする記法は、正規化群の表記に対しても同じく適用される。テンプレート:Mvar の正規化群を テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンク (normal closure) すなわち、テンプレート:Mvar の生成する正規部分群 テンプレート:Math と混同してはならない。
性質
下記の性質は テンプレート:Harvnb による。
- テンプレート:Mvar の中心化群と正規化群はともに テンプレート:Mvar の部分群である。
- 明らかに、テンプレート:Math である。実は、テンプレート:Math は必ず テンプレート:Math の正規部分群である。
- テンプレート:Math は テンプレート:Mvar を含むが、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar を含むとは限らない。テンプレート:Mvar のすべての元 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math であれば含む。なのでもちろん テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の可換な部分群であれば テンプレート:Math は テンプレート:Mvar を含む。
- テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の部分半群であれば、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar を含む。
- テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の部分群であれば、テンプレート:Mvar を正規部分群として含むような最大の テンプレート:Mvar の部分群が テンプレート:Math である。
- 元 テンプレート:Math の属する共役類の大きさと中心化群の指数 テンプレート:Math は等しい。
- 群 テンプレート:Mvar の部分群 テンプレート:Mvar と共役な部分群の数と正規化群の指数 テンプレート:Math は等しい。
- テンプレート:Mvar の部分群 テンプレート:Mvar は、テンプレート:Math であるときに、テンプレート:Mvar の自己正規化部分群 (self-normalizing subgroup) と呼ばれる。
- テンプレート:Mvar の中心はちょうど テンプレート:Math であり、テンプレート:Mvar がアーベル群であることと テンプレート:Math は同値である。
- 単集合に対して、テンプレート:Math である。
- 対称性により、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の 2 つの部分集合であれば、テンプレート:Math と テンプレート:Math は同値である。
- 群 テンプレート:Mvar の部分群 テンプレート:Mvar に対して、N/C定理 (N/C theorem) は、剰余群 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の自己同型群 テンプレート:Math の部分群に同型であるという定理である。テンプレート:Math および テンプレート:Math であるから、N/C theorem は、テンプレート:Math は、G のすべての内部自己同型からなる、テンプレート:Math の部分群 テンプレート:Math に同型であるということも意味している。
- 群準同型 テンプレート:Math を テンプレート:Math によって定義すれば、テンプレート:Math と テンプレート:Math を テンプレート:Math の テンプレート:Mvar への群作用の言葉によって記述できる： テンプレート:Mvar の テンプレート:Math における安定化群は テンプレート:Math であり、テンプレート:Mvar を固定する テンプレート:Math の部分群は テンプレート:Math である。
脚注
- ↑ Jacobson (2009), p. 41