群の中心

Z (G) = {z \in G ∣ z g = g z (\forall g \in G)}

群テンプレート:Mvar がアーベル群となることとテンプレート:Math となることとは同値である。これと正反対に、テンプレート:Math が自明（つまり単位元のみからなる）ならば群テンプレート:Mvar は中心を持たない テンプレート:Lang という。

中心に属する元はしばしば中心的 テンプレート:Lang であるといわれる。

部分群となること

ϕ_{g} (h) = g h g^{- 1}

G / Z (G) ≅ Inn (G)

1 \to Z (G) \to G \to Aut (G) \to Out (G) \to 1

を成す。

アーベル群テンプレート:Mvar の中心はテンプレート:Mvar 全体である。
二面体群テンプレート:Math の中心はテンプレート:Mvar が奇数のとき自明である。テンプレート:Mvar が偶数のときは、中心は単位元と多角形のテンプレート:Math 回転からなる。
四元数群テンプレート:Mathの中心はテンプレート:Mathである。
対称群テンプレート:Math の中心はテンプレート:Math ならば自明である。
交代群テンプレート:Math の中心はテンプレート:Math ならば自明である。
一般線型群テンプレート:Math の中心はスカラー行列全体からなる集合である。
直交群テンプレート:Math の中心はテンプレート:Mathである。
零でない四元数全体の成す乗法群の中心は、零でない実数全体の成す乗法群である。
類等式を用いれば任意の自明でない有限 p-群の中心が自明でないことが示せる。
非可換単純群は中心を持たない。
剰余群テンプレート:Math が巡回群ならばテンプレート:Mvar は可換である。

群をその中心で割るという操作から、昇核心列あるいは昇中心列 テンプレート:Lang と呼ばれる群の系列

G_{0} : = G \to G_{1} : = G_{0} / Z (G_{0}) \to G_{2} : = G_{1} / Z (G_{1}) \to \dots

が得られる。全射準同型テンプレート:Math の核はテンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-次の中心（二次の中心、三次の中心、など）と呼ばれ、Zⁱ(G) で表される。具体的に、テンプレート:Math-次の中心はテンプレート:Mvar-次の中心の元を掛ける違いを除いて全ての元と可換となるような元の全体である。この定義の下では、テンプレート:Math-次の中心というのを自明な部分群として定めることができる。また、この定義は超限帰納法を用いて超限順序数にまで続けることができて、高次の中心全ての結びは超中心テンプレート:Lang と呼ばれる^{[note 2]}。

部分群の昇鎖

1 \leq Z (G) \leq Z^{2} (G) \leq \dots

がテンプレート:Mvar で停止する（つまりテンプレート:Math となる）必要十分条件はテンプレート:Math が中心を持たないことである。