非可換整域

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数学の特に環論と呼ばれる抽象代数学の一分野における（非可換テンプレート:Efn）整域あるいは域（いき、テンプレート:Lang-en-short）とは、右または左零因子を持たない（つまり テンプレート:Math ならば テンプレート:Math または テンプレート:Math が成り立つテンプレート:Sfn、テンプレート:Ill2を満たすとも言われる）環のことを言う。しばしば自明でない（一つよりも多くの元を持つ）ことを仮定するテンプレート:Sfnが、域が乗法単位元を持つならば、この仮定は テンプレート:Math と同値テンプレート:Sfnであり、この場合の域は「左または右零因子を持たない非自明な環」のことになる。1(≠ 0) を持つ可換域は（可換）整域と呼ばれるテンプレート:Sfnテンプレート:Efn。

定理 (Wedderburn)
有限域は自動的に有限体になる。

零因子について（少なくとも可換環の場合には）位相幾何学的な解釈をすることができる。環 テンプレート:Mvar が可換整域となるための必要十分条件は、テンプレート:Mvar が被約環（つまり冪零元を持たない環）であり、かつそのスペクトル テンプレート:Math が既約位相空間となることである。前者の性質はある種の無限小の情報を保有しているとしばしば考えられ、対して後者はより幾何学的な情報を与えている。例えば、体 テンプレート:Mvar 上の環 テンプレート:Math は整域でない（テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar の属する類が零因子を与える）が、これは幾何学的にはこの環のスペクトルが既約でない（実際に、二つの既約成分である直線 テンプレート:Math と テンプレート:Math の和となる）ことに対応する。

域の構成

環が域であることを示す方法の一つは、特別な性質を持つフィルター付け（フィルトレーション）を提示することである。

定理
テンプレート:Mvar がテンプレート:Ill2で、付随する次数環 テンプレート:Math が域ならば、テンプレート:Mvar 自身が域を成す。

この定理を利用するには、次数環 テンプレート:Math を調べる必要がある。

例

群環と零因子問題

群 テンプレート:Mvar と体 テンプレート:Mvar に対して、群環 テンプレート:Math は域となるかを考える。恒等式

(1−g)(1+g+⋯+gn−1)=1−gn

から有限な位数 テンプレート:Mvar を持つ元 テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar の零因子 テンプレート:Math が得られる。零因子問題（カプランスキーの零因子予想）とはこれ以外の方法で零因子が得られないかどうかを問うものである。即ち、

零因子問題
与えられた体 テンプレート:Mvar と捩れのない群 テンプレート:Mvar に対して、「群環 テンプレート:Math は零因子を含まない」という主張は真であるか

今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2007年現在）。

様々な特定の群のクラスについては肯定的に解決されている。テンプレート:Harvtxtは「テンプレート:Mvar が捩れの無いテンプレート:Ill2群 (polycyclic-by-finite group) で テンプレート:Mvar が標数 テンプレート:Math の体ならば群環 テンプレート:Math は域を成す」ことを証明した。後に テンプレート:Harvtxt が体の標数に関する制限を取り除いている。テンプレート:Harvtxt はこれらの結果を捩れの無い可解群および可解×有限群の場合にまで一般化している。それより早く テンプレート:Harvtxt の成した研究は（その重要性は20年もの間この分野の専門家に省みられることは無かったが）、テンプレート:Mvar が [[p進整数|テンプレート:Mvar-進整数環]]で テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の テンプレート:Mvar-次テンプレート:Ill2である場合を扱っていた。

注

注釈

テンプレート:Notelist

出典

テンプレート:Reflist

参考文献

外部リンク

関連項目

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