ヒルベルトの定理90

数学、特に体論において、ヒルベルトの定理90 (Hilbert's Theorem 90) は、体の巡回拡大に関する重要な定理である。

ステートメント

K/k を n 次巡回拡大で、そのガロワ群を G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、ノルム N_K/k(β) が 1 であることと、ある 0≠α∈K が存在して β=α/σα となることは同値である。

加法版

K/k を n 次巡回拡大で、そのガロワ群を G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、トレース Tr_K/k(β) が 0 であることと、ある α∈K が存在して β=α−σα となることは同値である。

群コホモロジーを用いた表現

K/k を有限次ガロワ拡大、G をそのガロワ群とする。このとき

• $H^1(G,K^{*})=0$
• $H^1(G,K)=0$

が成り立つ。

例

K/k を2次拡大 $\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$とする。ガロア群は位数2の巡回群であり、生成元 σ は複素共役である。

$\sigma :c-di\mapsto c+di.$

K の元 $x=a+bi$ はノルム $x{x}^{\sigma }=a^2+b^2$ を持つ。 ノルムが1の元は $a^2+b^2=1$ の有理数解，もしくは単位円上の有理数点に対応する。 ヒルベルトの定理90によるとノルムが1の元 y は整数 c と d で次のように表すことができる。

$y=\frac{c+di}{c-di}=\frac{c^2-d^2}{c^2+d^2}+\frac{2cd}{c^2+d^2}i.$

これは単位円上の有理数点のパラメーター付けを表している。 単位円$x^2+y^2=1$上の有理数点$(x,y)=(a/c,b/c)$は$a^2+b^2=c^2$を満たすピタゴラス数$(a,b,c)$を表す。

関連項目

• クンマー理論
• アルティン・シュライアー理論
• 群コホモロジー
• ガロワ・コホモロジー

参考文献

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