アルティン・シュライアー理論

数学において、アルティン・シュライアー理論 (Artin–Schreier theory) は、標数 p の体の p 次ガロワ拡大の記述を与える。従ってそれはクンマー理論では記述できない場合を扱う。

アルティン・シュライアー拡大

K を標数 p の体とし、a をこの体のある元とする。多項式 テンプレート:Math の分解体への K の拡大をアルティン・シュライアー拡大と呼ぶ。b がこの多項式の 1 つの根であれば、0 から テンプレート:Math までの i に対して テンプレート:Math がその多項式の全ての根であり（cf. フロベニウス準同型）、それらは相異なる。すると 2 つの場合があり得る。

• 根の 1 つが K に属していれば、すべての根は K に属しており、多項式は K 上既に分解している。
• そうでないとき、つまり根の 1 つが K に属していなければ、どの根も K に属していない、言い換えると a は テンプレート:Math に対して テンプレート:Math の形ではない。このとき多項式 テンプレート:Math は K 上既約である。その分解体（および根体） K[b] は K の p 次巡回拡大であり、拡大のガロワ群の生成元（の 1 つ）は $b\mapsto b+1$ によって定義される写像によって与えられる。

実際 2 つ目の場合には、テンプレート:Math の分解体は K 上 b で拡大され、多項式の p 個の根 テンプレート:Math は K[b] に属しており相異なる。すると K のこの拡大は分離拡大であり従ってガロワ拡大である。ガロワ群が p 個の射からなり テンプレート:Math に対して $b\mapsto b+i$ によって定義されることを証明するには、多項式が既約であること、従って K[b] がその根体であることを示せば十分である。

もし K[X] の次数 テンプレート:Math の多項式が テンプレート:Math を割れば、それは K[b] において単項式 テンプレート:Math の積であり、テンプレート:Math の係数は、K の元で、従って テンプレート:Math で テンプレート:Math の形で、d は K において 0 でなく、これは b が K に属していないから不可能である。よって多項式は既約である。

例えば、2 つの元を持った有限体は 4 つの元からなる有限体をアルティン・シュライアー拡大として持ち、これは多項式 テンプレート:Math = テンプレート:Math によって拡大されたものである。

アルティン・シュライアー理論

アルティン・シュライアー理論は上の事実の逆をいうものである。標数 p の体の p 次巡回拡大はすべてアルティン・シュライアー拡大である。これは例えばヒルベルトの定理90の加法版を使って証明される。

p 次非ガロワ拡大はこの理論によって記述することはできない。例えば、p 個の元を持った素体上の一変数関数体 F_p(T) において不定元 T の p 乗根（つまり不定元 X の多項式 テンプレート:Math の根、これは非分離である）を添加して得られる拡大。

従って冪根による分解の理論の標数 p の類似理論はアルティン・シュライアー拡大を認めなければならない。拡大次数が標数の冪の拡大を得るにはテンプレート:仮リンクの理論を使う。

歴史的コメント

アルティン・シュライアー型の多項式は1866年に出版された テンプレート:Ill2 の Cours d'algèbre supérieure の第三版の有限体についての章において既に見つかる。セレは整数 g が素数 p で割れなければ多項式 テンプレート:Math は mod p で既約であること、現代的な言葉で言えば、すべての テンプレート:Math に対して テンプレート:Math は既約であること、を証明している。この結果は上のことから標数 p の体を F_p として証明できる。