ウォリス積分のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年1月}}
数学において、'''ウォリス積分'''とは、[[ジョン・ウォリス]]によって導入された積分である。

== 定義と証明 ==
=== 定義 ===
ウォリス積分 <math>I_m</math>（''m'' は 0 以上の[[整数]]）は
:<math>I_m :=\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^m \theta \, d\theta =\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^m \theta \, d\theta</math>
で定義される。[[部分積分]]によって
:<math>I_{m+1} =m( I_{m-1} -I_{m+1} )</math>
すなわち[[漸化式]]
:<math>\frac{I_{m+1}}{I_{m-1}} =\frac{m}{m+1}</math>
が得られる。これより ''m'' の偶奇に応じて <math>I_m</math> の値が求まる。
*<math>I_{2n+1} =\frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} =\frac{1}{2n+1} \cdot \frac{4^n}{{}_{2n} {\rm C}_n}</math>
*<math>I_{2n} =\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{\pi}{2} =\frac{{}_{2n} {\rm C}_n}{4^n} \cdot \frac{\pi}{2}</math>
ただし<math>n!!</math>は[[二重階乗]]である。

=== ウォリス積分におけるウォリスの公式 ===
*<math>\lim_{m\to \infty} \sqrt{m} \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^m \theta \, d\theta =\lim_{m\to \infty} \sqrt{m} \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^m \theta \, d\theta =\sqrt{\frac{\pi}{2}}</math>
{{math proof|1=
先述の漸化式より
:<math>(m+1)I_{m+1} I_m =mI_m I_{m-1}</math>
が成り立つ。故に[[数列]] <math>\{ mI_m I_{m-1} \}</math> は定数列で
:<math>mI_m I_{m-1} =I_1 I_0 =\frac{\pi}{2}.</math>
:<math>\therefore I_m I_{m-1} =\frac{\pi}{2m}.</math>
ここで、<math>0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}</math> で <math>\sin^{m+1} \theta \leq \sin^m \theta \leq \sin^{m-1} \theta</math> より
:<math>\begin{align}
&I_{m+1} \leq I_m \leq I_{m-1} \\
&I_{m+1} I_m \leq {I_m}^2 \leq I_m I_{m-1} \\
&\frac{m}{m+1} \cdot \frac{\pi}{2} \leq m{I_m}^2 \leq \frac{\pi}{2}
\end{align}</math>
[[はさみうちの原理]]より
:<math>\lim_{m\to \infty} \sqrt{m} \, I_m =\sqrt{\frac{\pi}{2}}. </math>
}}
''m'' = 2''n'' を代入すると先述の <math>I_{2n}</math> の求値より
*<math>\lim_{n\to \infty} \sqrt{n} \cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} =\frac{1}{\sqrt{\pi}}</math>
*<math>\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n}}{4^n} {2n \choose n} =\frac{1}{\sqrt{\pi}}</math>

== スターリングの公式との関係 ==
{{See also|スターリングの近似}}
スターリングの公式：
:<math>\lim_{n\to \infty} \frac{n!}{\sqrt{n}} \left( \frac{e}{n} \right)^n =\sqrt{2\pi}</math>
はウォリスの公式の拡張である。実際、スターリングの公式を仮定し <math>a_n :=\frac{n!}{\sqrt{n}} \left( \frac{e}{n} \right)^n</math> とおくと、
:<math>\lim_{n\to \infty} \frac{a_{2n}}{{a_n}^2} =\frac{1}{\sqrt{2}} \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n}}{4^n} {2n \choose n} =\frac{\sqrt{2\pi}}{(\sqrt{2\pi} )^2} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math>
より
: <math>\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n}}{4^n} {2n \choose n} =\frac{1}{\sqrt{\pi}}</math>
が得られる。

== 応用 ==
ウォリスの公式を用いて[[ガウス積分]]を求めることができる。
{{For2|導出|ガウス積分#ウォリスの公式を用いて}}
また[[カタラン数]] <math>C_n =\frac{1}{n+1} {2n\choose n}</math> にも[[二項係数]]が現れるため、ウォリスの公式より評価できる：
*<math>C_n \sim \frac{4^n}{n^{3/2} \sqrt{\pi}}</math>

== 関連項目 ==
*[[ジョン・ウォリス]]
*[[スターリングの近似]]
*[[ガウス積分]]
*[[部分積分]]
*[[漸化式]]

{{DEFAULTSORT:うおりすせきふん}}
[[Category:積分法]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:円周率]]
[[Category:数学のエポニム]]