ウォリス積分

テンプレート:出典の明記数学において、ウォリス積分とは、ジョン・ウォリスによって導入された積分である。

定義と証明

ウォリス積分 $I_{m}$ （m は 0 以上の整数）は

I_{m} : = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{m} θ d θ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{m} θ d θ

で定義される。部分積分によって

I_{m + 1} = m (I_{m - 1} - I_{m + 1})

すなわち漸化式

\frac{I_{m + 1}}{I_{m - 1}} = \frac{m}{m + 1}

が得られる。これより m の偶奇に応じて $I_{m}$ の値が求まる。

$I_{2 n + 1} = \frac{2 n}{2 n + 1} \cdot \frac{2 n - 2}{2 n - 1} \dots \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{(2 n)!!}{(2 n + 1)!!} = \frac{1}{2 n + 1} \cdot \frac{4^{n}}{_{2 n} C_{n}}$
$I_{2 n} = \frac{2 n - 1}{2 n} \cdot \frac{2 n - 3}{2 n - 2} \dots \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{(2 n - 1)!!}{(2 n)!!} \cdot \frac{π}{2} = \frac{_{2 n} C_{n}}{4^{n}} \cdot \frac{π}{2}$

ただし $n!!$ は二重階乗である。

$\lim_{m \to \infty} \sqrt{m} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{m} θ d θ = \lim_{m \to \infty} \sqrt{m} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{m} θ d θ = \sqrt{\frac{π}{2}}$

テンプレート:Math proof m = 2n を代入すると先述の $I_{2 n}$ の求値より

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} \cdot \frac{(2 n - 1)!!}{(2 n)!!} = \frac{1}{\sqrt{π}}$
$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{4^{n}} (\binom{2 n}{n}) = \frac{1}{\sqrt{π}}$

テンプレート:See also スターリングの公式：

\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{n}} {(\frac{e}{n})}^{n} = \sqrt{2 π}

はウォリスの公式の拡張である。実際、スターリングの公式を仮定し $a_{n} : = \frac{n!}{\sqrt{n}} {(\frac{e}{n})}^{n}$ とおくと、

\lim_{n \to \infty} \frac{a_{2 n}}{{a_{n}}^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{4^{n}} (\binom{2 n}{n}) = \frac{\sqrt{2 π}}{(\sqrt{2 π})^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2 π}}

より

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{4^{n}} (\binom{2 n}{n}) = \frac{1}{\sqrt{π}}

が得られる。

ウォリスの公式を用いてガウス積分を求めることができる。テンプレート:For2 またカタラン数 $C_{n} = \frac{1}{n + 1} (\binom{2 n}{n})$ にも二項係数が現れるため、ウォリスの公式より評価できる：