ウッダル数のソースを表示

'''ウッダル数'''（ウッダルすう、{{Lang-en-short|Woodall number}}）とは、{{math|''n'' &times; 2{{sup|''n''}} &minus; 1}}（{{mvar|n}} は自然数）の形の自然数のことである。これを {{mvar|W{{sub|n}}}} で表すことが多い。1917年、[[アラン・カニンガム_(数学者)|アラン・カニンガム]]と{{ill2|ハーバート・ウッダル|en|H. J. Woodall}}は、{{仮リンク|ジェームズ・カレン (数学者)|label=ジェームズ・カレン|en|James Cullen (mathematician)}}により先行して研究されていた類似した数式で定義される[[カレン数]]を参考に、初めてウッダル数について研究した<ref>{{citation
 | author1 = [[アラン・カニンガム (数学者)|Cunningham, A. J. C]]
 | author2 = {{ill2|H. J. Woodall|en|H. J. Woodall|label=Woodall, H. J.}}
 | journal = [[Messenger of Mathematics]]
 | pages = 1–38
 | title = Factorisation of <math>Q = (2^q \mp q)</math> and <math>(q \cdot {2^q} \mp 1)</math>
 | volume = 47
 | year = 1917}}</ref>。
ウッダル数の列は

:[[1]], [[7]], [[23]], [[63]], [[159]], [[383]], 895, … {{OEIS|id=A003261}}.

である。

== 基本的な性質==
=== 整除性 ===
ウッダル数はカレン数と同様にいくつかの整除性をもつ。例えば、''p''が素数であるとき、以下が成り立つ。

* [[ヤコビ記号]] <math>\left(\frac{2}{p}\right)</math> が {{math|+1}} の場合、<math>p \mid W_{(p+1)/2}</math> である。
* ヤコビ記号 <math>\left(\frac{2}{p}\right)</math> が {{math|&minus;1}} の場合、<math>p \mid W_{(3p-1)/2}</math> である。

== ウッダル素数 ==
ウッダル素数（ウッダルそすう、{{Lang-en-short|Woodall prime}}）とは、素数であるウッダル数のことである。具体的には

:[[7]], [[23]], [[383]], 32212254719,… {{OEIS|id=A050918}}

である。またこのときの指数部にあたる ''p'' の値は 

:{{math2|''p'' {{=}}2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, …}} {{OEIS|id=A002234}}

における{{mvar|W{{sub|p}}}}がそうである。

2018年1月現在知られている最大のウッダル素数は、[[2008年]][[1月]]に[[分散コンピューティング]]によるプロジェクトの[[PrimeGrid]]で発見された1,129,757桁整数の{{math|3752948&times;2{{sup|3752948}} &minus; 1}} である<ref>{{Citation |url=http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=83407 |title=The Prime Database: 938237*2^3752950-1 |work=Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database |accessdate=January 22, 2018 }}</ref>。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[カレン数]] - {{math|''n'' × 2{{sup|''n''}} + 1}} の形の自然数

{{素数の分類}}
{{DEFAULTSORT:うつたるすう}}
[[Category:整数の類]]
[[Category:素数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]