エアリー関数のソースを表示

'''エアリー関数'''（エアリーかんすう、{{lang-en-short|''Airy function''}}）あるいは'''第一種エアリー関数''' (''Airy function of the first kind'') '''{{math|Ai(''x'')}}''' は、[[イギリス]]の[[天文学者]][[ジョージ・ビドル・エアリー]] (1801–92) に因んで名づけられた[[特殊関数]]である。この関数 {{math|Ai(''x'')}} および'''第二種エアリー関数'''とも呼ばれる関連の関数（A を次の文字 B に変えて、故に冗談めかしてベアリー ('''B'''iry) 関数とも）'''{{math|Bi(''x'')}}''' は、'''エアリー方程式'''あるいは'''ストークス方程式'''と呼ばれる[[微分方程式]]
: <math>\frac{d^2y}{dx^2} - xy = 0</math>
の線型独立な解としても言及される。これは転回点（{{en|turning point}}: 方程式の解が振動型から指数型へ変わる特徴点）を持つ最も単純な二階[[線型微分方程式]]である。

エアリー関数は三角[[井戸型ポテンシャル|ポテンシャル井戸]]に留め置かれた粒子に対する、あるいは一次元定力場における粒子に対する[[シュレーディンガー方程式]]の解である。同じ理由により、ポテンシャルが位置の線型関数で局所近似されるときの、転回点の周りでの[[WKB近似]]として、エアリー関数は一様半古典近似を与えるのに利用できる。三角ポテンシャル井戸解は、多くの半導体デバイスを理解することに直接的に関係がある。

エアリー関数はまた、[[虹]]のような{{訳語疑問点範囲|方向性{{仮リンク|集光|en|caustic (optics)}}の周辺強度の形でも根底にある|date=2016年4月}}。歴史的にはこれがエアリーがこの特殊関数を導入するに至った数学的問題であった。またエアリー関数は{{仮リンク|顕微鏡学|en|microscopy}}や[[天文学]]においても重要である。つまり、エアリー関数は（[[顕微鏡]]や[[望遠鏡]]の解像限界よりも小さな）{{仮リンク|点光源|en|Point source}}によって与えられる[[回折]]や[[干渉 (物理学)|干渉]]のパターンを記述する。

== 定義 ==
[[File:Airy Functions.svg|right|thumb|400px|{{math|Ai(''x'')}} を赤、{{math|Bi(''x'')}} を青でプロット]]
[[実数|実]]変数 {{mvar|x}} に対する第一種エアリー関数は[[広義リーマン積分]]
:<math>\begin{align} \operatorname{Ai}(x)
 & = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \cos \left( \frac{t^3}{3} + xt \right) ~ dt\\
 &\equiv \frac{1}{\pi} \lim_{b \to \infty} \int_0^b \cos \left( \frac{t^3}{3} + xt \right) ~ dt
\end{align}</math>
として定義することができる。これが収束することは、激しく振動するグラフの正の成分と負の成分とが[[リーマン&ndash;ルベーグの補題|互いに打ち消し合う]]（これは[[部分積分]]で確認できる）ことによるものである。

関数 {{math|''y'' {{=}} Ai(''x'')}} はエアリー方程式 
: <math>y'' - xy = 0</math>
を満足する。この方程式は二つの[[線型独立]]な解を持つ。スカラー倍の[[違いを除いて]]、{{math|Ai(''x'')}} は {{math|''x'' → ∞}} で {{math|''y'' → 0}} なる条件を満たす唯一の解である。もう一つの解として第二種エアリー関数 {{math|Bi(''x'')}} を取るのが標準的である。第二種エアリー関数は第一種エアリー関数 {{math|Ai(''x'')}} と同じ振幅を持ち {{math|''x'' → −∞}} で位相が {{math|π/2}} だけ異なる解
: <math>\operatorname{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \left[ \exp \left( -\frac{t^3}{3} + xt \right) + \sin \left( \frac{t^3}{3} + xt \right) \right] dt</math>
として定義することができる。

== 性質 ==
{{math|Ai(''x''), Bi(''x'')}} およびそれらの導関数の {{math|''x'' {{=}} 0}} における値は
: <math>\begin{align}
 \operatorname{Ai}(0) &= \frac{1}{3^{2/3}\Gamma(2/3)}, &  \operatorname{Ai}'(0) &= -\frac{1}{3^{1/3}\Gamma(1/3)}, \\
 \operatorname{Bi}(0) &= \frac{1}{3^{1/6} \Gamma(2/3)}, & \operatorname{Bi}'(0) &= \frac{3^{1/6}}{\Gamma(1/3)}
\end{align}</math>
で与えられる。ここで {{mvar|Γ}} は[[ガンマ関数]]である。これにより {{math|Ai(''x'')}} および {{math|Bi(''x'')}} の[[ロンスキアン]]が {{math|1/π}} となることが従う。

{{mvar|x}} が正のとき、{{math|Ai(''x'')}} は正値[[凸関数]]かつ指数関数的に零に減少し、{{math|Bi(''x'')}} は正値凸関数かつ零の周辺で限りなく小さい振幅を以って無限回振動する。{{mvar|x}} が負のとき、{{math|Ai(''x''), Bi(''x'')}} はともに零の周辺で限りなく小さくなる振幅を以って無限回振動する。これはエアリー関数に対する漸近公式（[[#漸近公式|後述]]）によって保証される。

任意の変数に対するエアリー関数同士は、広義リーマン積分
: <math> \int_{-\infty}^\infty \operatorname{Ai}(t+x) \operatorname{Ai}(t+y)\,\mathit{dt} = \delta(x-y)</math>
が成り立つという意味において互いに直交する<ref>David E. Aspnes, Physical Review, '''147''', 554 (1966)</ref>。

== 漸近公式 ==
[[File:Mplwp airyai asymptotic.svg|thumb|320px|関数 {{math|Ai}} (青) とその正弦型/指数型漸近近似 (赤)]]
[[File:Mplwp airybi asymptotic.svg|thumb|320px|関数 {{math|Bi}} (青) とその正弦型/指数型漸近近似 (赤)]]
[[#複素変数|後述]]のように、エアリー関数は複素数平面上へ延長することができて[[整関数]]を与える。そのエアリー関数の[[偏角 (複素数)|偏角]] {{math|arg(''z'')}} が一定値を保ったまま {{math|{{abs|''z''}}}} を[[無限|無限大]]へ飛ばすときの漸近挙動は {{math|arg(''z'')}} に依存して決まる（これを{{仮リンク|ストークス現象|en|Stokes phenomenon}}と言う）。{{math|{{abs|arg(''z'')}} < π}} のとき、{{math|Ai(''z'')}} に対して以下の[[漸近公式]]
: <math>\operatorname{Ai}(z)\sim \dfrac{e^{-\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}}}{2\sqrt\pi\,z^{\frac{1}{4}}} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n \Gamma(n+\frac{5}{6})\Gamma(n+\frac{1}{6})\left(\frac{3}{4}\right)^n}{2\pi n! z^{3n/2}} \right]</math>
を得る<ref>{{harvnb|Abramowitz|Stegun|1970|p=448}}, [http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_448.htm Eqns 10.4.59 and 10.4.63]</ref>。{{math|Bi(''z'')}} に対しても同様の漸近公式
: <math>\operatorname{Bi}(z)\sim \frac{e^{\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt\pi\,z^{\frac{1}{4}}}\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{ \Gamma(n+\frac{5}{6})\Gamma(n+\frac{1}{6})\left(\frac{3}{4}\right)^n}{2\pi n! z^{3n/2}} \right]</math>
存在するが {{math|{{abs|arg(''z'')}} < π/3}} でしか適用できない。

{{math|π/3 < {{abs|arg(''z'')}} < π}} のときのより正確な {{math|Ai(''z'')}} および {{math|Bi(''z'')}} に対する公式、あるいは同じことだが {{math|{{abs|arg(''z'')}} < 2π/3}} だが零でないときの {{math|Ai(−''z'')}} および {{math|Bi(−''z'')}} の漸近近似が 
:<math>\begin{align}
 \mathrm{Ai}(-z) \sim&{} \frac{\sin \left(\frac23z^{\frac{3}{2}}+\frac{\pi}{4} \right)}{\sqrt\pi\,z^{\frac{1}{4}}} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n \Gamma(2n+\frac{5}{6})\Gamma(2n+\frac{1}{6})\left(\frac{3}{4}\right)^{2n}}{2\pi (2n)! z^{3n}} \right] \\[6pt]
 &{}-\frac{\cos \left(\frac23z^{\frac{3}{2}}+\frac{\pi}{4} \right)}{\sqrt\pi\,z^{\frac{1}{4}}} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n \Gamma(2n+\frac{11}{6})\Gamma(2n+\frac{7}{6})\left(\frac{3}{4}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)! z^{3n+3/2}} \right] \\[6pt]
 \mathrm{Bi}(-z) \sim&{} \frac{\cos \left(\frac23z^{\frac{3}{2}}+\frac{\pi}{4} \right)}{\sqrt\pi\,z^{\frac{1}{4}}} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n \Gamma(2n+\frac{5}{6})\Gamma(2n+\frac{1}{6})\left(\frac{3}{4}\right)^{2n}}{2\pi (2n)! z^{3n}} \right] \\[6pt]
 &{}+ \frac{\sin \left(\frac23z^{\frac{3}{2}}+\frac{\pi}{4} \right)}{\sqrt\pi\,z^{\frac{1}{4}}} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n \Gamma(2n+\frac{11}{6})\Gamma(2n+\frac{7}{6})\left(\frac{3}{4}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)! z^{3n+3/2}} \right]
\end{align}</math>
で与えられる<ref>{{harvnb|Abramowitz|Stegun|1970|p=448}}, [http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_448.htm Eqns 10.4.60 and 10.4.64]</ref>。

{{math|{{abs|arg(''z'')}} {{=}} 0}} のとき、これらは良い近似であるが漸近的でない（{{math|Ai(−''z'')}} または {{math|Bi(−''z'')}} と上記の近似式との比は、現れる正弦および余弦の値が零となるところで無限大に発散することによる）。これらの極限に対する漸近展開も可能である。それらについては {{harv|Abramowitz|Stegun|1954}} および {{harv|Olver|1974}} にある。

== 複素エアリー関数 {{anchors|複素エアリー函数}} ==
エアリー関数の定義を
: <math>\operatorname{Ai}(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{C} \exp \left( \frac{t^3}{3} - zt \right) dt</math>
と置くことにより複素数平面まで拡張することができる。ただし、積分路 {{mvar|C}} は偏角 {{math|&minus;{{π}}/2}} の無限遠点 {{math|&minus;∞''i''}} から偏角 {{math|{{π}}/2}} の無限遠点 {{math|∞''i''}} までとる。あるいは、微分方程式 {{math|''y''′′ − ''xy'' {{=}} 0}} によって {{math|Ai(''x'')}} および {{math|Bi(''x'')}} を複素数平面上の[[整関数]]に拡張することもできる。

{{math|Ai(''x'')}} に対する漸近公式は、{{math|''x''{{exp|2/3}}}} の主値をとり、{{mvar|x}} が負の実軸の近くを除いて有界ならば、複素数平面上でもやはり有効である。{{math|Bi(''x'')}} に対する漸近公式が有効なのは、{{mvar|x}} が適当な {{math|δ > 0}} に対する扇形 {{math|{{mset|''x'' ∈ '''C''' : {{abs|arg(''x'')}} < {{fraction|{{π}}|3}} &minus; δ}}}} にあるときである。また、{{math|Ai(−''x''), Bi(−''x'')}} に対する公式は {{mvar|x}} が扇形 {{math|{{mset|''x'' ∈ '''C''' : {{abs|arg(''x'')}} < {{fraction|2{{π}}|3}} &minus; δ}}}} にあるとき有効である。

エアリー関数の漸近的挙動から分かることは、{{math|Ai(''x''), Bi(''x'')}} ともに負の実軸上に無限個の零点を持つことである。関数 {{math|Ai(''x'')}} は複素数平面上に他の零点を持たないが、{{math|Bi(''x'')}} は扇形 {{math|{{mset|''z'' ∈ '''C''' : {{fraction|{{π}}|3}} < {{abs|arg(''z'')}} < {{fraction|{{π}}|2}}}}}} にも無限個の零点を持つ。

=== グラフ ===

{| style="text-align:center" align=center
! <math>\Re[\operatorname{Ai}(x + iy)]</math>
! <math>\Im[\operatorname{Ai}(x + iy)]</math>
! <math>|\operatorname{Ai}(x + iy)|</math>
! <math>\operatorname{arg}[\operatorname{Ai}(x + iy)]</math>
|-
|[[File:AiryAi Real Surface.png|200px]]
|[[File:AiryAi Imag Surface.png|200px]]
|[[File:AiryAi Abs Surface.png|200px]]
|[[File:AiryAi Arg Surface.png|200px]]
|-
|[[File:AiryAi Real Contour.svg|200px]]
|[[File:AiryAi Imag Contour.svg|200px]]
|[[File:AiryAi Abs Contour.svg|200px]]
|[[File:AiryAi Arg Contour.svg|200px]]
|}

{| style="text-align:center" align=center
! <math>\Re[\operatorname{Bi}(x + iy)]</math>
! <math>\Im[\operatorname{Bi}(x + iy)]</math>
! <math>|\operatorname{Bi}(x + iy)|</math>
! <math>\operatorname{arg}[\operatorname{Bi}(x + iy)]</math>
|-
|[[File:AiryBi Real Surface.png|200px]]
|[[File:AiryBi Imag Surface.png|200px]]
|[[File:AiryBi Abs Surface.png|200px]]
|[[File:AiryBi Arg Surface.png|200px]]
|-
|[[File:AiryBi Real Contour.svg|200px]]
|[[File:AiryBi Imag Contour.svg|200px]]
|[[File:AiryBi Abs Contour.svg|200px]]
|[[File:AiryBi Arg Contour.svg|200px]]
|}

== 他の特殊関数との関係 ==
正の引数に対して、エアリー関数は[[ベッセル関数#変形ベッセル関数|変形ベッセル関数]]と
: <math>\begin{align}
 \operatorname{Ai}(x) & = \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{x}{3}} \, K_{1/3}(2x^{3/2}/3), \\[8pt]
 \operatorname{Bi}(x) & = \sqrt{\frac{x}{3}}\left(I_{1/3}(2x^{3/2}/3) + I_{-1/3}(2x^{3/2}/3)\right)
\end{align}</math>
なる関係を持つ。ここで {{math|''I''<sub>±1/3</sub>, ''K''<sub>1/3</sub>}} は {{math|1=''x''{{exp|2}}''y"'' + ''xy{{'}}'' &minus; (''x''{{exp|2}} + {{fraction|1|9}})''y'' = 0}} の解である。エアリー関数の一階微分は
: <math>\operatorname{Ai}'(x) = - \frac{x}{\pi\sqrt{3}} \, K_{2/3}(2x^{3/2}/3)</math>
であり、関数 {{math|''K''<sub>1/3</sub>}} および {{math|''K''<sub>2/3</sub>}} は急速に収束する積分によって表すことができる<ref>M.Kh.Khokonov. Cascade Processes of Energy Loss by Emission of Hard Photons //  JETP, V.99, No.4, pp. 690-707 \ (2004).</ref>（[[ベッセル関数|変形ベッセル関数]]の項も参照）。

負の引数に対して、エアリー関数は[[ベッセル関数]]と
:<math>\begin{align}
 \operatorname{Ai}(-x) & = \sqrt{\frac{x}{9}} \left(J_{1/3}(2x^{3/2}/3) + J_{-1/3}(2x^{3/2}/3)\right), \\[8pt]
 \operatorname{Bi}(-x) & = \sqrt{\frac{x}{3}} \left(J_{-1/3}(2x^{3/2}/3) - J_{1/3}(2x^{3/2}/3)\right)
\end{align}</math>
なる関係を持つ。ここに {{math|''J''<sub>±1/3</sub>}} は {{math|1=''x''{{exp|2}}''y"'' + xy{{'}} + (''x''{{exp|2}} &minus; {{fraction|1|9}})''y'' = 0}} の解。

{{仮リンク|スコアラーの関数|en|Scorer's function}}（{{math|1=''y"'' &minus; ''xy'' = 1/{{π}}}} の解）もまたエアリー関数を用いて
:<math>\begin{align}
 \operatorname{Gi}(x) & = \operatorname{Bi}(x) \int_x^\infty \operatorname{Ai}(t) \mathit{dt} + \operatorname{Ai}(x) \int_0^x \operatorname{Bi}(t) \mathit{dt}, \\[8pt]
 \operatorname{Hi}(x) & = \operatorname{Bi}(x) \int_{-\infty}^x \operatorname{Ai}(t) \mathit{dt} - \operatorname{Ai}(x) \int_{-\infty}^x \operatorname{Bi}(t) \mathit{dt} 
\end{align}</math>
と書くこともできる。

== フーリエ変換 ==
エアリー関数 {{math|Ai(''x'')}} の定義から直接に、その[[フーリエ変換]]が
:<math>\mathcal{F}(\operatorname{Ai})(k) := \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{Ai}(x)\ e^{- 2\pi i k x}\,dx = e^{i(2\pi k)^3/3}</math>
で与えられることが示せる。

== 歴史 ==
エアリー関数の名の由来は、[[イギリス人]][[天文学者]]・[[物理学者]]の[[ジョージ・ビドル・エアリー]] (1801–1892) である。エアリーは[[光学]]の初期研究 (Airy 1838) においてこの関数に遭遇した。"{{math|Ai(''x'')}}" という表記は[[ハロルド・ジェフリース]]によるものである。エアリーはイギリス[[王室天文官]]を1835年から1881年まで務めた人物である。

== 関連項目 ==
* [[ウィッテン予想]]: [[マキシム・コンツェビッチ|コンツェヴィッチ]]による証明にエアリー関数の行列値への一般化が使われている。
* {{仮リンク|エアリーゼータ関数|en|Airy zeta function}}

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 注釈 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{notelist2}}

== 参考文献 ==
* {{AS ref|10|446}}
* {{citation|last=Airy |year=1838|title= On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic|journal=Transactions of the Cambridge Philosophical Society|volume=6|pages= 379–402|url=https://books.google.co.jp/books?id=-yI8AAAAMAAJ&dq=Transactions+of+the+Cambridge+Philosophical+Society+1838&redir_esc=y&hl=ja|publisher=University Press}}
* [[Frank William John Olver]] (1974). ''Asymptotics and Special Functions,'' Chapter&nbsp;11. Academic Press, New York.
* {{Citation | last1=Press | first1=WH | last2=Teukolsky | first2=SA | last3=Vetterling | first3=WT | last4=Flannery | first4=BP | year=2007 | title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing | edition=3rd | publisher=Cambridge University Press |  publication-place=New York | isbn=978-0-521-88068-8 | chapter=Section 6.6.3. Airy Functions | chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=289}}
* {{Citation | last1=Vallée | first1=Olivier | last2=Soares | first2=Manuel | title=Airy functions and applications to physics | url=http://www.worldscibooks.com/physics/p345.html | publisher=Imperial College Press | location=London | isbn=978-1-86094-478-9 | mr=2114198 | year=2004}}

==外部リンク==
* {{SpringerEOM|title=Airy functions|urlname=Airy_functions}}
* {{MathWorld | urlname=AiryFunctions | title=Airy Functions}}
* Wolfram function pages for [http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/AiryAi/ Ai] and [http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/AiryBi/ Bi] functions. Includes formulas, function evaluator, and plotting calculator.
* {{dlmf|title= Airy and related functions |id=9|first=F. W. J.|last= Olver}}

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:えありいかんすう}}
[[Category:特殊関数]]
[[Category:常微分方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:人名を冠した数式]]