エアリー関数

エアリー関数（エアリーかんすう、テンプレート:Lang-en-short）あるいは第一種エアリー関数 (Airy function of the first kind) テンプレート:Math は、イギリスの天文学者ジョージ・ビドル・エアリー (1801–92) に因んで名づけられた特殊関数である。この関数 テンプレート:Math および第二種エアリー関数とも呼ばれる関連の関数（A を次の文字 B に変えて、故に冗談めかしてベアリー (Biry) 関数とも）テンプレート:Math は、エアリー方程式あるいはストークス方程式と呼ばれる微分方程式

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-xy=0$

の線型独立な解としても言及される。これは転回点（テンプレート:En: 方程式の解が振動型から指数型へ変わる特徴点）を持つ最も単純な二階線型微分方程式である。

エアリー関数は三角ポテンシャル井戸に留め置かれた粒子に対する、あるいは一次元定力場における粒子に対するシュレーディンガー方程式の解である。同じ理由により、ポテンシャルが位置の線型関数で局所近似されるときの、転回点の周りでのWKB近似として、エアリー関数は一様半古典近似を与えるのに利用できる。三角ポテンシャル井戸解は、多くの半導体デバイスを理解することに直接的に関係がある。

エアリー関数はまた、虹のようなテンプレート:訳語疑問点範囲。歴史的にはこれがエアリーがこの特殊関数を導入するに至った数学的問題であった。またエアリー関数はテンプレート:仮リンクや天文学においても重要である。つまり、エアリー関数は（顕微鏡や望遠鏡の解像限界よりも小さな）テンプレート:仮リンクによって与えられる回折や干渉のパターンを記述する。

定義

テンプレート:Math を赤、テンプレート:Math を青でプロット

実変数 テンプレート:Mvar に対する第一種エアリー関数は広義リーマン積分

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ai}(x)& =\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (\frac{t^3}{3}+xt)dt\\ & \equiv \frac{1}{\pi }\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{b}{\int }}\cos (\frac{t^3}{3}+xt)dt\end{array}$

として定義することができる。これが収束することは、激しく振動するグラフの正の成分と負の成分とが互いに打ち消し合う（これは部分積分で確認できる）ことによるものである。

関数 テンプレート:Math はエアリー方程式

$y^{″}-xy=0$

を満足する。この方程式は二つの線型独立な解を持つ。スカラー倍の違いを除いて、テンプレート:Math は テンプレート:Math で テンプレート:Math なる条件を満たす唯一の解である。もう一つの解として第二種エアリー関数 テンプレート:Math を取るのが標準的である。第二種エアリー関数は第一種エアリー関数 テンプレート:Math と同じ振幅を持ち テンプレート:Math で位相が テンプレート:Math だけ異なる解

$\mathrm{Bi}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\exp (-\frac{t^3}{3}+xt)+\sin (\frac{t^3}{3}+xt)]dt$

として定義することができる。

性質

テンプレート:Math およびそれらの導関数の テンプレート:Math における値は

$\begin{array}{cccc}\mathrm{Ai}(0)& =\frac{1}{3^{2/3}\mathrm{\Gamma }(2/3)},& {\mathrm{Ai}}^{\prime }(0)& =-\frac{1}{3^{1/3}\mathrm{\Gamma }(1/3)},\\ \mathrm{Bi}(0)& =\frac{1}{3^{1/6}\mathrm{\Gamma }(2/3)},& {\mathrm{Bi}}^{\prime }(0)& =\frac{3^{1/6}}{\mathrm{\Gamma }(1/3)}\end{array}$

で与えられる。ここで テンプレート:Mvar はガンマ関数である。これにより テンプレート:Math および テンプレート:Math のロンスキアンが テンプレート:Math となることが従う。

テンプレート:Mvar が正のとき、テンプレート:Math は正値凸関数かつ指数関数的に零に減少し、テンプレート:Math は正値凸関数かつ零の周辺で限りなく小さい振幅を以って無限回振動する。テンプレート:Mvar が負のとき、テンプレート:Math はともに零の周辺で限りなく小さくなる振幅を以って無限回振動する。これはエアリー関数に対する漸近公式（後述）によって保証される。

任意の変数に対するエアリー関数同士は、広義リーマン積分

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{Ai}(t+x)\mathrm{Ai}(t+y)𝑑𝑡=\delta (x-y)$

が成り立つという意味において互いに直交する。

漸近公式

関数 テンプレート:Math (青) とその正弦型/指数型漸近近似 (赤)

関数 テンプレート:Math (青) とその正弦型/指数型漸近近似 (赤)

後述のように、エアリー関数は複素数平面上へ延長することができて整関数を与える。そのエアリー関数の偏角 テンプレート:Math が一定値を保ったまま テンプレート:Math を無限大へ飛ばすときの漸近挙動は テンプレート:Math に依存して決まる（これをテンプレート:仮リンクと言う）。テンプレート:Math のとき、テンプレート:Math に対して以下の漸近公式

$\mathrm{Ai}(z)\sim \frac{e^{-\frac{2}{3}{z}^{\frac{3}{2}}}}{2\sqrt{\pi }{z}^{\frac{1}{4}}}\left[\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n\mathrm{\Gamma }(n+\frac{5}{6})\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{6}){\left(\frac{3}{4}\right)}^n}{2\pi n!z^{3n/2}}\right]$

を得る。テンプレート:Math に対しても同様の漸近公式

$\mathrm{Bi}(z)\sim \frac{e^{\frac{2}{3}{z}^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt{\pi }{z}^{\frac{1}{4}}}\left[\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\frac{5}{6})\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{6}){\left(\frac{3}{4}\right)}^n}{2\pi n!z^{3n/2}}\right]$

存在するが テンプレート:Math でしか適用できない。

テンプレート:Math のときのより正確な テンプレート:Math および テンプレート:Math に対する公式、あるいは同じことだが テンプレート:Math だが零でないときの テンプレート:Math および テンプレート:Math の漸近近似が

$\begin{array}{cc}\mathrm{A}\mathrm{i}(-z)\sim & \frac{\sin (\frac{2}{3}{z}^{\frac{3}{2}}+\frac{\pi }{4})}{\sqrt{\pi }{z}^{\frac{1}{4}}}\left[\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n\mathrm{\Gamma }(2n+\frac{5}{6})\mathrm{\Gamma }(2n+\frac{1}{6}){\left(\frac{3}{4}\right)}^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}\right]\\ & -\frac{\cos (\frac{2}{3}{z}^{\frac{3}{2}}+\frac{\pi }{4})}{\sqrt{\pi }{z}^{\frac{1}{4}}}\left[\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n\mathrm{\Gamma }(2n+\frac{11}{6})\mathrm{\Gamma }(2n+\frac{7}{6}){\left(\frac{3}{4}\right)}^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}\right]\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(-z)\sim & \frac{\cos (\frac{2}{3}{z}^{\frac{3}{2}}+\frac{\pi }{4})}{\sqrt{\pi }{z}^{\frac{1}{4}}}\left[\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n\mathrm{\Gamma }(2n+\frac{5}{6})\mathrm{\Gamma }(2n+\frac{1}{6}){\left(\frac{3}{4}\right)}^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}\right]\\ & +\frac{\sin (\frac{2}{3}{z}^{\frac{3}{2}}+\frac{\pi }{4})}{\sqrt{\pi }{z}^{\frac{1}{4}}}\left[\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n\mathrm{\Gamma }(2n+\frac{11}{6})\mathrm{\Gamma }(2n+\frac{7}{6}){\left(\frac{3}{4}\right)}^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}\right]\end{array}$

で与えられる。

テンプレート:Math のとき、これらは良い近似であるが漸近的でない（テンプレート:Math または テンプレート:Math と上記の近似式との比は、現れる正弦および余弦の値が零となるところで無限大に発散することによる）。これらの極限に対する漸近展開も可能である。それらについては テンプレート:Harv および テンプレート:Harv にある。

複素エアリー関数 テンプレート:Anchors

エアリー関数の定義を

$\mathrm{Ai}(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\exp (\frac{t^3}{3}-zt)dt$

と置くことにより複素数平面まで拡張することができる。ただし、積分路 テンプレート:Mvar は偏角 テンプレート:Math の無限遠点 テンプレート:Math から偏角 テンプレート:Math の無限遠点 テンプレート:Math までとる。あるいは、微分方程式 テンプレート:Math によって テンプレート:Math および テンプレート:Math を複素数平面上の整関数に拡張することもできる。

テンプレート:Math に対する漸近公式は、テンプレート:Math の主値をとり、テンプレート:Mvar が負の実軸の近くを除いて有界ならば、複素数平面上でもやはり有効である。テンプレート:Math に対する漸近公式が有効なのは、テンプレート:Mvar が適当な テンプレート:Math に対する扇形 テンプレート:Math にあるときである。また、テンプレート:Math に対する公式は テンプレート:Mvar が扇形 テンプレート:Math にあるとき有効である。

エアリー関数の漸近的挙動から分かることは、テンプレート:Math ともに負の実軸上に無限個の零点を持つことである。関数 テンプレート:Math は複素数平面上に他の零点を持たないが、テンプレート:Math は扇形 テンプレート:Math にも無限個の零点を持つ。

グラフ

$\mathrm{\Re }[\mathrm{Ai}(x+iy)]$	$\mathrm{\Im }[\mathrm{Ai}(x+iy)]$	$|\mathrm{Ai}(x+iy)|$	$\arg [\mathrm{Ai}(x+iy)]$

$\mathrm{\Re }[\mathrm{Bi}(x+iy)]$	$\mathrm{\Im }[\mathrm{Bi}(x+iy)]$	$|\mathrm{Bi}(x+iy)|$	$\arg [\mathrm{Bi}(x+iy)]$

他の特殊関数との関係

正の引数に対して、エアリー関数は変形ベッセル関数と

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ai}(x)& =\frac{1}{\pi }\sqrt{\frac{x}{3}}{K}_{1/3}(2x^{3/2}/3),\\ \mathrm{Bi}(x)& =\sqrt{\frac{x}{3}}(I_{1/3}(2x^{3/2}/3)+I_{-1/3}(2x^{3/2}/3))\end{array}$

なる関係を持つ。ここで テンプレート:Math は テンプレート:Math の解である。エアリー関数の一階微分は

${\mathrm{Ai}}^{\prime }(x)=-\frac{x}{\pi \sqrt{3}}{K}_{2/3}(2x^{3/2}/3)$

であり、関数 テンプレート:Math および テンプレート:Math は急速に収束する積分によって表すことができる（変形ベッセル関数の項も参照）。

負の引数に対して、エアリー関数はベッセル関数と

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ai}(-x)& =\sqrt{\frac{x}{9}}(J_{1/3}(2x^{3/2}/3)+J_{-1/3}(2x^{3/2}/3)),\\ \mathrm{Bi}(-x)& =\sqrt{\frac{x}{3}}(J_{-1/3}(2x^{3/2}/3)-J_{1/3}(2x^{3/2}/3))\end{array}$

なる関係を持つ。ここに テンプレート:Math は テンプレート:Math の解。

テンプレート:仮リンク（テンプレート:Math の解）もまたエアリー関数を用いて

$\begin{array}{cc}\mathrm{Gi}(x)& =\mathrm{Bi}(x)\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{Ai}(t)𝑑𝑡+\mathrm{Ai}(x)\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{Bi}(t)𝑑𝑡,\\ \mathrm{Hi}(x)& =\mathrm{Bi}(x)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\mathrm{Ai}(t)𝑑𝑡-\mathrm{Ai}(x)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\mathrm{Bi}(t)𝑑𝑡\end{array}$

と書くこともできる。

フーリエ変換

エアリー関数 テンプレート:Math の定義から直接に、そのフーリエ変換が

$ℱ(\mathrm{Ai})(k):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{Ai}(x)e^{-2\pi ikx}dx=e^{i(2\pi k{)}^3/3}$

で与えられることが示せる。

歴史

エアリー関数の名の由来は、イギリス人天文学者・物理学者のジョージ・ビドル・エアリー (1801–1892) である。エアリーは光学の初期研究 (Airy 1838) においてこの関数に遭遇した。"テンプレート:Math" という表記はハロルド・ジェフリースによるものである。エアリーはイギリス王室天文官を1835年から1881年まで務めた人物である。

関連項目

• ウィッテン予想: コンツェヴィッチによる証明にエアリー関数の行列値への一般化が使われている。
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:AS ref
• テンプレート:Citation
• Frank William John Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York.
• テンプレート:Citation
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外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:MathWorld
• Wolfram function pages for Ai and Bi functions. Includes formulas, function evaluator, and plotting calculator.
• テンプレート:Dlmf