凸関数

凸関数の例。定義を満たしていることが図から確認できる。

凸関数とはエピグラフが凸集合である関数である。

テンプレート:読み仮名 ruby不使用とは、ある区間で定義された実数値関数 テンプレート:Mvar で、区間内の任意の 2 点 テンプレート:Mvar と開区間 テンプレート:Math 内の任意の テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Indent を満たすものをいう。グラフの膨らむ向きを区別する表現を使うなら、凸関数とは「下に凸な関数」のことである。これはまた、エピグラフ（グラフ上およびグラフの上部の点の集合）が凸集合であるような関数であるテンプレート:Sfnともいえる。より一般に、ベクトル空間の凸集合上定義された関数に対しても同様に定義するテンプレート:Sfn。 また、狭義凸関数とは、任意の異なる 2 点 テンプレート:Mvar と開区間 テンプレート:Math 内の任意の テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Indent を満たす関数である（従って、下に凸な関数の事である）。

テンプレート:Math が凸関数のとき、テンプレート:Mvar をテンプレート:読み仮名 ruby不使用と呼ぶ。凸関数を「下に凸な関数」、凹関数を「上に凸な関数」と称することもある。

定義

テンプレート:Mvar をある実ベクトル空間内の凸集合として、テンプレート:Mvar を テンプレート:Math となる関数とする。

• このとき テンプレート:Mvar が凸であるとは次の条件を満たすことをいう。

$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X,\mathrm{\forall }t\in [0,1]:f(t{x}_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2).$

• また、テンプレート:Mvar が狭義の凸であるとは次の条件を満たすことをいう。

$\mathrm{\forall }{x}_1\ne x_2\in X,\mathrm{\forall }t\in (0,1):f(t{x}_1+(1-t)x_2)<tf(x_1)+(1-t)f(x_2).$

• 関数 テンプレート:Math が（狭義の）凸であるとき、テンプレート:Mvar は（狭義の）凹であるという。

一般形

イェンセンの不等式 を参照せよ。

凸関数の性質

凸開区間 テンプレート:Mvar で定義された凸関数 テンプレート:Mvar は連続で、高々可算個の点を除いて微分可能であるテンプレート:Sfn。閉区間の場合は、端で連続でない場合がある。

テンプレート:Mvar が連続関数ならば、凸関数であるためには、任意の テンプレート:Mvar に対して

$f\left(\frac{x+y}{2}\right)\le \frac{f(x)+f(y)}{2}$

を満たせば十分である。この条件は、凸関数の定義中の不等式で、特に テンプレート:Math の式である。

区間上の 1 変数微分可能な関数が凸関数であるための必要十分条件は、微分が単調非減少であることである。

また 1 変数 2 階微分可能な関数が、凸関数であることの必要十分条件は、2 階微分が非負であることであるテンプレート:Sfn。また、2 階微分が正ならば、狭義凸関数である。この逆は成立しない。例えば、テンプレート:Math は狭義凸関数であるが、2 階微分は正ではない。

より一般的に、[[滑らかな関数|テンプレート:Math 級関数]]が凸関数であるための必要十分条件は、凸集合の内部で、ヘッセ行列が半正値であることである。

テンプレート:Mvar が凸関数であるとき、非負の テンプレート:Mvar について テンプレート:Math は凸関数である。同様に、テンプレート:Math も凸関数である。

凸関数の極小値は最小値である。狭義凸関数は最小値を取る点が存在するなら 1 点であるテンプレート:Sfn。

テンプレート:Mvar が凸関数のとき、レベル集合 テンプレート:Math と テンプレート:Math は、任意の テンプレート:Math について凸集合である。

対数凸関数

定義域において正値であり、その対数が凸である関数をテンプレート:仮リンクというテンプレート:Sfn。対数凸関数は凸関数であることが重みつきの算術平均と幾何平均の定理から従う。対数凹関数も同様にして定義される。正値の凹関数が対数凹関数であることも同様にして示される。

例

• テンプレート:Math は凸関数であるが、対数凸関数ではない。
• テンプレート:Math は テンプレート:Math において凸関数であり、テンプレート:Math において凹関数である。
• 指数関数 テンプレート:Math は凸関数であり、狭義ではない対数凸関数である。
• ガンマ関数 テンプレート:Math は テンプレート:Math において対数凸関数である。
• 絶対値関数 テンプレート:Math は テンプレート:Math で微分不可能であるが凸関数である。
• 区間 テンプレート:Math 上で、テンプレート:Math のとき テンプレート:Math で定義された テンプレート:Mvar は不連続であるが、凸関数である。
• 線形写像は狭義ではない凸関数であり、狭義ではない凹関数でもある。
• 一次関数は凸関数であり、凹関数でもある。逆に関数が凸かつ凹ならば一次関数であるテンプレート:Sfn。
• ガウス関数 テンプレート:Math は対数凹関数であるが、凹関数ではない。

原点に対して凸

テンプレート:節スタブ 経済学においては、曲線が原点に向かって弓なりに突き出した形になっていることを原点に対して凸、または原点に向かって凸と呼ぶことがある。

参考文献

• テンプレート:Cite
• テンプレート:Cite
• テンプレート:Cite
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
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関連項目

• 凸最適化
• イェンゼンの不等式
• 閉凸関数
• 真凸関数
• 有効定義域
• フェンシェルの双対性定理
• 劣加法性
• 劣モジュラ関数
• ルジャンドル変換
• ギンツブルグ-ランダウ理論