フェンシェルの双対性定理

テンプレート:出典の明記 数学においてフェンシェルの双対性定理（フェンシェルのそうついせいていり、テンプレート:Lang-en-short）は、テンプレート:仮リンクの名にちなむ、凸函数の理論における一結果である。

ƒ を Rⁿ 上の真凸函数とし、g を Rⁿ を真凹函数とする。このとき、正則性の条件が満たされるなら、

$\underset{x}{\min }(f(x)-g(x))=\underset{p}{\max }(g_{\star }(p)-f^{\star }(p))$

が成り立つ。ここで ƒ ^* は ƒ の凸共役（フェンシェル＝ルジャンドル変換とも呼ばれる）であり、g _* は g の凹共役である。すなわち、次が成り立つ。

$f^{\star }\left(x^{*}\right):=\sup \{⟨x^{*},x⟩-f\left(x\right)|x\in {ℝ}^n\}$

$g_{\star }\left(x^{*}\right):=\inf \{⟨x^{*},x⟩-g\left(x\right)|x\in {ℝ}^n\}$

数学的定理

X と Y をバナッハ空間とし、$f:X\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ と $g:Y\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ を凸函数とし、$A:X\to Y$ を有界線型作用素とする。このとき、フェンシェルの問題とは

$p^{*}=\underset{x\in X}{\inf }\{f(x)+g(Ax)\}$

$d^{*}=\underset{y^{*}\in Y^{*}}{\sup }\{-f^{*}(A^{*}{y}^{*})-g^{*}(-y^{*})\}$

が弱双対性を満たす、すなわち $p^{*}\ge d^{*}$ が成立することを言う。ここで $f^{*},g^{*}$ はそれぞれ f,g の凸共役であり、$A^{*}$ は共役作用素であることに注意されたい。この双対問題に対する摂動函数は $F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)$ で与えられる。

f,g および A は次のいずれかを満たす。

1. f と g は下半連続で、$0\in \mathrm{core}(\mathrm{dom}g-A\mathrm{dom}f)$。ここで $\mathrm{core}$ は代数的内部であり、$\mathrm{dom}h$ はある函数 h に対する集合 $\{z:h(z)<+\mathrm{\infty }\}$ である。

1. $A\mathrm{dom}f\cap \mathrm{cont}g\ne \mathrm{\varnothing }$。ここで $\mathrm{cont}$ は函数が連続であるような点である。

このとき強双対性が成立する。すなわち $p^{*}=d^{*}$ となる。$d^{*}\in ℝ$ であるなら、順序集合が達成される。

参考文献

• テンプレート:Cite book See page 327.

関連項目

• ルジャンドル変換
• 凸共役性
• テンプレート:仮リンク
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