エクセター点のソースを表示

[[幾何学]]において、'''エクセター点'''（エクセターてん、{{Lang-en-short|Exeter point}}）は[[三角形の中心]]の一つである<ref>{{Cite web |title=Art of Problem Solving |url=https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Kimberling%E2%80%99s_point_X(22) |website=artofproblemsolving.com |access-date=2024-07-31}}</ref>。重心の[[擬調和三角形]]と[[外接三角形]]の[[配景]]の中心として定義される。{{仮リンク|クラーク・キンバーリング|en|Clark Kimberling}}の「[[Encyclopedia of Triangle Centers]]」では、X(22)として登録されている<ref>{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Encyclopedia of Triangle Centers: X(22) |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X22 |access-date=24 May 2012}}</ref>。

1986年に[[フィリップス・エクセター・アカデミー]]によって発見された<ref name="Exeter">{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Exeter Point |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/exeter.html |access-date=24 May 2012}}</ref><ref>{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Triangle centers |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/ |access-date=24 May 2012}}</ref>。

== 定義 ==
[[ファイル:Exeter_point.svg|サムネイル|320x320ピクセル|
{{Math|△''ABC''}}（黒）、{{Math|△''ABC''}}の[[中線]]（黒い破線)、[[外接円]]（水）、重心の[[擬調和三角形]]A'B'C'（緑）、[[外接三角形|接線三角形]]DEF（桃）。{{Math|△''DEF''}}と{{Math|△''A'B'C' ''}}の対応する点を結ぶ線（赤）は、'''エクセター点'''で交わる。

]]
エクセター点の定義は以下の通りである<ref>{{Cite web |author=Weisstein |first=Eric W. |title=Exeter Point |url=http://mathworld.wolfram.com/ExeterPoint.html |publisher=From MathWorld--A Wolfram Web Resource |access-date=24 May 2012}}</ref>。

: {{Math|△''ABC''}}の、それぞれ{{Mvar|A, B, C}}を通る[[中線]]と{{Math|△''ABC''}}の[[外接円]]の頂点でない方の交点を{{Mvar|A', B', C'}}とする。また{{Math|△''DEF''}}を{{Math|△''ABC''}} の外接円の{{Mvar|A, B, C}}を通る[[接線]]が成す三角形とする（{{Mvar|D}}は、{{Mvar|A}}の接線で構成される辺の対頂点、{{Mvar|E,F}}も{{Mvar|B}},{{Mvar|C}}に対して同様に定義する）。このとき{{Mvar|DA', EB', FC'}}は[[共点]]でこの点を{{Math|△''ABC''}}のエクセター点と言う。

== 三線座標 ==
エクセター点の[[三線座標]]は以下の式で表される。<math display="block">a(b^4 + c^4 - a^4) : b(c^4 + a^4 - b^4) : c(a^4 + b^4 - c^4)</math>

== 性質 ==

* エクセター点は [[オイラー線]]上にある。したがってエクセター点は[[垂心]]、[[九点円|九点円の中心]]、[[幾何中心|重心]]、[[外心]]、[[ド・ロンシャン点]]などと[[共線]]である。
* [[ジェルゴンヌ点|接触三角形]]に関する点{{Mvar|P}}の擬調和三角形と基準三角形は配景である<ref>{{Cite web |title=Exeter Point |url=https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/GeoGebra/ExeterPointInverted.shtml |website=www.cut-the-knot.org |access-date=2024-07-31}}</ref>。{{Mvar|P}}が重心であるとき、配景の中心はエクセター点である。

== 参考文献 ==
<references responsive="1"></references>{{デフォルトソート:えくせたあてん}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:三角形の中心]]