エルミート多項式のソースを表示

'''エルミート多項式'''（-たこうしき、{{lang-en-short|Hermite polynomial}}）は、[[常微分方程式]]
:<math>\left( \frac{d^2}{dx^2}-2x\frac{d}{dx}+2n\right) H_n(x)=0</math>
を満たす[[多項式]]<math>H_n(x)</math>のことを言う{{Sfn|伏見康治|1943|p=160|loc=III章 25節 Hermite多項式, Hermite函数 (25.3)}}<ref>永宮健夫「微分方程式論」(河出書房応用数学講座第二巻）</ref>。
またこの微分方程式は[[スツルム＝リウヴィル型微分方程式]]の一つである。

エルミート多項式は{{仮リンク|重み関数|en|Weight function|label=}}を<math>e^{-x^2}</math>として、次の[[直交性]]を持つ<ref>{{cite web|url=https://dlmf.nist.gov/18.3#T1|title=DLMF: 18.3 Definitions|accessdate=2020-05-13|publisher=[[NIST]]|website=NIST Digital Library of Mathematical Functions|date=2020-03-15}}</ref>。
:<math>\int^\infty_{-\infty} H_m(x) H_n(x) e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} 2^n n! \delta_{m,n}</math>

ここで<math>\delta_{m,n}</math>はクロネッカーのデルタである（<math>m=n</math>のとき1, それ以外では0）。

[[ロドリゲスの公式]]で表すと<ref>{{cite web|url=https://dlmf.nist.gov/18.5#ii|title=DLMF: 18.5 Explicit Representations|accessdate=2020-05-13|publisher=[[NIST]]|website=NIST Digital Library of Mathematical Functions|date=2020-03-15}}</ref>、
:<math>H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}</math>

これにより、エルミート多項式は以下の漸化式を満たすことがわかる。
:<math>\begin{align}
H_{n+1}(x) &= 2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x) \\
\frac{d}{dx} H_n(x) &= 2nH_{n-1}(x) \\
\frac{d}{dx} H_n(x) &= 2xH_n(x)-H_{n+1}(x)
\end{align}</math>

[[母関数]]は
:<math>S(x,y) = \exp(-y^2+2xy) = \sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{y^n}{n!}</math>

である{{Sfn|伏見康治|1943|p=159|loc=III章 25節 Hermite多項式, Hermite函数 (25.1)}}。[[周回積分]]で表すと<ref>{{cite web|url=https://dlmf.nist.gov/18.10#iii|title=DLMF: 18.10 Integral Representations|accessdate=2020-05-13|publisher=[[NIST]]|website=NIST Digital Library of Mathematical Functions|date=2020-03-15}}</ref>
:<math>H_n(x) = \oint_C dz ~ \frac{\exp(-z^2+2xz)}{z^{n+1}}</math>

ここで <math>C</math> は原点を囲む反時計回りの経路である。

陽に表せば<ref>{{cite web|url=https://dlmf.nist.gov/18.5#Px5.p1|title=DLMF: 18.5 Explicit Representations|accessdate=2020-05-13|publisher=[[NIST]]|website=NIST Digital Library of Mathematical Functions|date=2020-03-15}}</ref>
:<math>H_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \frac{(-1)^m}{m!(n-2m)!} (2x)^{n-2m}</math>
である。ここで<math>\lfloor \cdot \rfloor</math>は[[床関数と天井関数|床関数]]である。
最初の幾つかを挙げると、
:<math>\begin{align}
  H_0(x) &= 1 \\
  H_1(x) &= 2x \\
  H_2(x) &= 4x^2 - 2 \\
  H_3(x) &= 8x^3 - 12x \\
  H_4(x) &= 16x^4 - 48x^2 + 12 \\
  H_5(x) &= 32x^5 - 160x^3 + 120x
\end{align}</math>

エルミート多項式は量子化された[[調和振動子]]の[[波動関数]]の一部としてその姿を現す。
また、[[正規分布|正規関数]]のフーリエ共役関数もまた正規関数であることを示す<ref>{{cite book|和書 |author1=寺澤寛一 |authorlink1=寺澤寛一 |author2=今井功 |authorlink2=今井功 (物理学者) |year=1945 |title=定積分及Fourier級数 |publisher=河出書房 |series=応用数学講座第五巻 }}</ref>。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book |和書 |author=伏見康治 |authorlink=伏見康治 |year=1943 |title=確率論及統計論 |publisher=河出書房 |isbn=9784874720127 |ref=harv }}

==関連項目==
*[[シャルル・エルミート]]
*[[スツルム＝リウヴィル型微分方程式]]
* [[特殊関数]]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:えるみいとたこうしき}}
[[Category:微分方程式]]
[[Category:直交多項式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]