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{{otheruses||エルミート多様体上のある種の[[微分形式]]|エルミート多様体}} [[数学]]の[[線型代数学]]における'''エルミート積''' (''Hermitian product''), '''エルミート半双線型形式''' (''Hermitian Sesqui­linear form'') あるいは単に'''エルミート形式'''（エルミートけいしき、{{lang-en-short|''Hermitian form''}}）は、[[シャルル・エルミート]]に名を因む特別な種類の[[半双線型形式]]で、[[対称双線型形式]]の複素版にあたる。 複素線型空間 {{mvar|V}} とその上のエルミート形式 {{math|⟨,⟩}} との組 {{math|(''V'',⟨,⟩)}}, あるいは同じことだが対応する「二次形式」{{math|1=''Q''(''z'') = ⟨''z'', ''z''⟩}} との組 {{math|(''V'', ''Q'')}} を'''エルミート空間'''（あるいはエルミート二次空間）と呼ぶ。 == 定義 == {{mvar|V}} は[[複素数]][[可換体|体]] {{math|'''C'''}} 上の[[ベクトル空間]]とすると、'''エルミート半双線型形式'''とは、写像 {{math|⟨,⟩: ''V'' × ''V'' → '''C'''}} で以下を満たすものを言う: {{math|''x'', ''y'', ''z'' ∈ ''V''}} および {{math|''a'' ∈ '''C'''}} は任意として # 偏線型性: {{math|size=larger|1=⟨''x'', ''ay'' + ''z''⟩ = ''a''⟨''x'', ''y''⟩ + ⟨''x'', ''z''⟩}} # 偏半線型性: {{math|size=larger|1=⟨''ax'' + ''y'', ''z''⟩ = {{overline|''a''}}⟨''x'', ''z''⟩ + ⟨''y'', ''z''⟩}} # エルミート対称性: {{math|size=larger|1=⟨''x'', ''y''⟩ = {{overline|⟨''y'', ''x''⟩}}}} ここに、上付きの横棒 {{math|{{overline|•}}}} は[[複素共軛]]をとる演算を表す。 ; 注 :* 引数の一方が線型で他方が半線型となるが、線型と半線型は上記と逆に仮定する流儀もある。 :* 条件 1, 2 はこの写像が[[半双線型形式|半双線型]]となることを言うものであるが、実は条件 3 の仮定のもと 1 から 2, あるいは 2 から 1 が導かれるから、一方の条件は不要である。ここでは明確化のために両者を掲げてある。 エルミート半双線型形式は複素数体 {{math|'''C'''}} 上で意味を成す概念である（実数体 {{math|'''R'''}} 上では任意のエルミート半双線型形式が[[対称双線型形式]]になる）。複素線型空間（あるいは複素[[ヒルベルト空間]]）上の[[内積]]（エルミート内積）は非退化正定値のエルミート半双線型形式である。 より一般に、[[環上の加群]] {{mvar|M}} に対して、係数環 {{mvar|R}} 上定義される任意の[[対合]]的{{仮リンク|反自己同型|en|antiautomorphism}} {{mvar|σ}} に関する半双線型形式 {{math|⟨,⟩: ''M'' × ''M'' → ''R''}} がエルミートであるとは、{{math|1=⟨''x'', ''y''⟩ = ⟨''y'', ''x''⟩{{msup|σ}}}} を満たすことを言う。さらに、{{mvar|ε}} は係数環の[[環の中心|中心元]]として、{{mvar|ε}}-エルミートであるとは {{math|1=⟨''x'', ''y''⟩ = ''ε''⟨''y'', ''x''⟩{{msup|σ}}}} となるときに言う<ref>{{citation2|surname1=[[Nicolas Bourbaki]]|title=Algèbre|series=Éléments de mathématique|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|publication-place=Berlin|year=2007|at=p. 49|contribution=9|isbn=3-540-35338-0|language=de }}</ref>。 == エルミート二次形式 == エルミート半双線型形式に対しても[[極化恒等式]]が適用できる。従って、エルミート半双線型形式は対角成分における値 {{math|1=''Q''(''z'') = ⟨''z'', ''z''⟩}} のみによって他の全ての値も決定される。この「二次形式」{{mvar|Q}} が常に実数値であることに注意せよ。実は与えられた半双線型形式がエルミートであることと、対応する二次形式が実数値であることとは同値になる。 == 標準形式 == 複素[[数ベクトル空間]] {{math|'''C'''{{msup|''n''}}}} における :<math>\langle \vec{x},\vec{y} \rangle =\langle (x_1, x_2, \ldots , x_n),(y_1, y_2, \ldots , y_n)\rangle =\bar x_1 y_1 +\bar x_2 y_2 +\ldots +\bar x_n y_n =\sum_{k=1}^{n}\bar x_k y_k</math> を'''標準エルミート形式'''あるいは標準エルミート内積と呼ぶ。 == 関連項目 == * [[エルミート行列]] == 参考文献 == * {{cite book |和書| first= 一郎 | last= 佐武 | title= 線型代数学 | publisher= 裳華房 | year= 1974}} == 注釈 == <references/> == 外部リンク == * {{MathWorld |urlname= HermitianForm|title= Hermitian Form|author=Barile, Margherita}} * {{nlab|urlname=Hermitian+form|title=Hermitian form}} * {{PlanetMath|urlname= HermitianForm|title= Hermitian form}} * <!-- {{ProofWiki|urlname= Definition:Hermitian_Form|title= Definition:Hermitian Form}}-->{{ProofWiki|urlname= Definition:Hermitian_Form/Historical_Note|title= Definition:Hermitian Form/Historical Note}} * {{SpringerEOM|urlname= Hermitian_form|title= Hermitian form|author= Popov, V.L.}} {{DEFAULTSORT:えるみいとけいしき}} [[Category:線型代数学]] [[Category:数学に関する記事]] [[Category:数学のエポニム]] [[en:Sesquilinear form#Hermitian form]]
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