エータ不変量のソースを表示

数学において、[[コンパクト空間|コンパクト]][[多様体]]上の自己随伴{{仮リンク|楕円型微分作用素|label=楕円型|en|elliptic differential operator}}(elliptic)[[微分作用素]]の'''エータ不変量'''(eta invariant)は、形式的には正の[[固有値]]の数から負の固有値の数を引いた数である。実践では、両方の数はしばしば無限大となり、[[ゼータ函数正規化]]を使い定義される。エータ不変量は {{harvs|txt|last1=Atiyah|author1-link=Michael Atiyah|last2=Patodi|author2-link=Vijay Kumar Patodi|last3=Singer|author3-link=Isadore Singer|year1=1973|year2=1975}} により導入された。彼らはエータ不変量を使って、境界を持つ多様体の[[種数 (乗法的数列)#L-種数とヒルツェブルフの符号定理|ヒルツェブルフの符号定理]]を拡張した。

後に、彼らは、自己随伴作用素のエータ不変量を使い、コンパクトな奇数次元の滑らかな多様体のエータ不変量を定義した。

{{harvs|txt | last1=Atiyah | first1=Michael Francis | author1-link=Michael Atiyah | last2=Donnelly | first2=H. | last3=Singer | first3=I. M. | title=Eta invariants, signature defects of cusps, and values of L-functions | doi=10.2307/2006957 | mr=707164  | year=1983 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=118 | issue=1 | pages=131–177}}
では、多様体の境界の{{仮リンク|符号欠損|en|signature defect}}(signature defect)が、エータ不変量として定義され、これを使い{{仮リンク|ヒルベルトモジュラー曲面|en|Hilbert modular surface}}(Hilbert modular surface)のカスプのヒルツェブルフの符号欠損が{{仮リンク|清水のL-函数|en|Shimizu L-function}}(Shimizu L-function)の ''s'' = 0 あるいは 1 での値の項で表現されることを示した。
<!--In mathematics, the '''eta invariant''' of a self-adjoint [[elliptic differential operator|elliptic]] [[differential operator]] on a [[compact manifold]] is formally the number of positive [[eigenvalue]]s minus the number of negative eigenvalues. In practice both numbers are often infinite so are defined using [[zeta function regularization]]. It was introduced by {{harvs|txt|last1=Atiyah|author1-link=Michael Atiyah|last2=Patodi|author2-link=Vijay Kumar Patodi|last3=Singer|author3-link=Isadore Singer|year1=1973|year2=1975}} who used it to extend the [[Hirzebruch signature theorem]] to manifolds with boundary. 

They also later used the eta invariant of a self-adjoint operator to define the eta invariant of a compact odd-dimensional smooth manifold.

{{harvs|txt | last1=Atiyah | first1=Michael Francis | author1-link=Michael Atiyah | last2=Donnelly | first2=H. | last3=Singer | first3=I. M. | title=Eta invariants, signature defects of cusps, and values of L-functions | doi=10.2307/2006957 | mr=707164  | year=1983 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=118 | issue=1 | pages=131–177}}
defined the [[signature defect]] of the boundary of a manifold as the eta invariant, and used this to show that Hirzebruch's signature defect of a cusp of a [[Hilbert modular surface]] can be expressed in terms of the value at ''s''=0 or 1 of a [[Shimizu L-function]].-->

==定義==

自己随伴作用素 ''A'' のエータ不変量は ''η''<sub>''A''</sub>(0) により与えられる。ここに ''η'' は、

:<math>\eta(s)=\sum_{\lambda\ne 0} \frac{\operatorname{sign}(\lambda)}{|\lambda|^s}</math>

の解析接続であり、和は ''A'' の非零の固有値 λ 上を渡る。
<!--==Definition==

The eta invariant of self-adjoint operator ''A'' is given by ''η''<sub>''A''</sub>(0), where ''η'' is the analytic continuation of

:<math>\eta(s)=\sum_{\lambda\ne 0} \frac{\operatorname{sign}(\lambda)}{|\lambda|^s}</math>

and the sum is over the nonzero eigenvalues λ of&nbsp;''A''.-->

==参考文献==

*{{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael Francis | author1-link=Michael Atiyah | last2=Patodi | first2=V. K. | last3=Singer | first3=I. M. | title=Spectral asymmetry and Riemannian geometry | doi=10.1112/blms/5.2.229  | mr=0331443  | year=1973 | journal=The Bulletin of the London Mathematical Society | issn=0024-6093 | volume=5 | pages=229–234}}
*{{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael Francis | author1-link=Michael Atiyah | last2=Patodi | first2=V. K. | last3=Singer | first3=I. M. | title=Spectral asymmetry and Riemannian geometry. I | doi=10.1017/S0305004100049410 | mr=0397797  | year=1975 | journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society | issn=0305-0041 | volume=77 | pages=43–69}}
*{{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael Francis | author1-link=Michael Atiyah | last2=Donnelly | first2=H. | last3=Singer | first3=I. M. | title=Eta invariants, signature defects of cusps, and values of L-functions | doi=10.2307/2006957 | mr=707164  | year=1983 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=118 | issue=1 | pages=131–177}}

{{DEFAULTSORT:ええたふへんりよう}}
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