エータ不変量

数学において、コンパクト多様体上の自己随伴テンプレート:仮リンク(elliptic)微分作用素のエータ不変量(eta invariant)は、形式的には正の固有値の数から負の固有値の数を引いた数である。実践では、両方の数はしばしば無限大となり、ゼータ函数正規化を使い定義される。エータ不変量は テンプレート:Harvs により導入された。彼らはエータ不変量を使って、境界を持つ多様体のヒルツェブルフの符号定理を拡張した。

後に、彼らは、自己随伴作用素のエータ不変量を使い、コンパクトな奇数次元の滑らかな多様体のエータ不変量を定義した。

テンプレート:Harvs では、多様体の境界のテンプレート:仮リンク(signature defect)が、エータ不変量として定義され、これを使いテンプレート:仮リンク(Hilbert modular surface)のカスプのヒルツェブルフの符号欠損がテンプレート:仮リンク(Shimizu L-function)の s = 0 あるいは 1 での値の項で表現されることを示した。

定義

自己随伴作用素 A のエータ不変量は η_A(0) により与えられる。ここに η は、

$\eta (s)=\sum _{\lambda \ne 0}\frac{\mathrm{sign}(\lambda )}{|\lambda {|}^s}$

の解析接続であり、和は A の非零の固有値 λ 上を渡る。

参考文献

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