エーレンフェストの定理のソースを表示

{{出典の明記|date=2012年9月3日 (月) 09:24 (UTC)}}

'''エーレンフェストの定理'''（エーレンフェストのていり、{{Lang-en-short|Ehrenfest's theorem}}<ref>{{Cite book|和書
|author=文部省|authorlink=文部省
|coauthors = [[日本物理学会]]編
|title = 学術用語集 物理学編
|url = http://sciterm.nii.ac.jp/cgi-bin/reference.cgi
|year = 1990
|publisher = [[培風館]]
|isbn = 4-563-02195-4
|page = 
}}</ref>）は、[[量子力学]]における重要な[[定理]]のひとつで、大まかにいえば『[[シュレーディンガー方程式]]の[[期待値]]を取ることで[[古典力学]]における[[運動方程式]]（に大変よく似たもの）が得られる』ことを主張している。この定理は[[オランダ]]の[[物理学者]][[ポール・エーレンフェスト]]により提唱され、量子力学と古典力学の対応を論じるときによく用いられる。

== 定理の主張 ==
ポテンシャル<math>U</math>の影響下にある質量<math>m</math>の粒子Aの状態が、[[波動関数]]<math>\psi(\mathbf r)</math>であらわされているものとする。この状態にある粒子A（およびそれと同じ状態にある複数の粒子）の位置<math>\textbf{r}=(x,y,z)</math>を測定した場合に得られる『観測値の期待値』をそれぞれ<math>\langle x \rangle</math>、<math>\langle y \rangle</math>、<math>\langle z \rangle</math>とする。このとき、

:<math>\begin{align}
m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle x \rangle &= -\left\langle\frac{\partial U}{\partial x}\right\rangle \\
m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle y \rangle &= -\left\langle\frac{\partial U}{\partial y}\right\rangle \\
m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle z \rangle &= -\left\langle\frac{\partial U}{\partial z}\right\rangle
\end{align}</math>

が成立する。なお、ここでは波動関数は[[規格化]]されているものとする。また、ここで、期待値を導き出す操作<math>\langle \ \rangle</math>は、通常量子力学で行われている方法どおりで

:<math>\begin{align}&\langle x \rangle = \int \psi^*(\mathbf r) x \psi(\mathbf r) \mathrm d \mathbf r \\
&\left\langle\frac{\partial U}{\partial x}\right\rangle = \int \psi^*(\mathbf r) \frac{\partial U}{\partial x} \psi(\mathbf r) \mathrm d \mathbf r \end{align}</math>

とする。他も同様である。

== 証明 ==
まず、期待値の定義より
: <math>
\begin{align}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle \mathbf r \rangle
&= \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\int \psi^*(\mathbf r,t) \mathbf r \psi(\mathbf r,t) \mathrm d \mathbf r \\
&= \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{\partial \psi}{\partial t}\right]\mathrm d \mathbf r
\end{align}</math>
を得る。ここでシュレーディンガー方程式より
: <math>\begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{\partial \psi}{\partial t}\right]\mathrm d \mathbf r
&= \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[-\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi^*)\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi)\right]\mathrm d \mathbf r \\
&= \frac{1}{i\hbar}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\int\left[-\left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi^*\mathbf r \psi + \psi^* \mathbf r \left\{\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi\right]\mathrm d \mathbf r \\
&= \frac{1}{i\hbar}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi - \psi^* \mathbf r \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi\right]\mathrm d \mathbf r \\
&= -\frac{i\hbar}{2m}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi - \psi^* \mathbf r \nabla^2 \psi\right]\mathrm d \mathbf r
\end{align}</math>
[[部分積分]]と、積分範囲が空間全体にわたること、及び波動関数は無限遠では0となるという仮定を用いると
: <math>\begin{align}
\int\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi\ \mathrm d \mathbf r
&= [\nabla\psi^*\mathbf r \psi]^{+\infty}_{-\infty} - \int \nabla\psi^* \nabla(\mathbf r \psi)\mathrm d \mathbf r \\
&= -[\psi^*\nabla(\mathbf r \psi)]^{+\infty}_{-\infty} + \int \psi^*\nabla^2(\mathbf r \psi) \mathrm d \mathbf r \\
&= \int \psi^*\nabla(\nabla \mathbf r \psi + \mathbf r \nabla \psi) \mathrm d \mathbf r \\
&= \int \left[ \psi^*\nabla \psi + \psi^* \nabla( \mathbf r \nabla \psi) \right] \mathrm d \mathbf r \\
&= \int \left[ 2\psi^*\nabla \psi + \psi^* \mathbf r \nabla^2 \psi \right] \mathrm d \mathbf r
\end{align}</math>
これらを用いると
: <math>m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int \psi^*\nabla\psi \mathrm d \mathbf r=-i\hbar\int \left[ \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{\partial \psi}{\partial t}\right] \mathrm d \mathbf r</math>
再度シュレーディンガー方程式を用いて
: <math>\begin{align}
-i\hbar\int \left[ \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{\partial \psi}{\partial t}\right] \mathrm d \mathbf r
&= -i\hbar\int \left[ -\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi^*) \nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi)\right] \mathrm d \mathbf r \\
&= \int \left[ \left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi^* \nabla \psi - \psi^*\nabla \left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi\right] \mathrm d \mathbf r \\
&= -\frac{\hbar^2}{2m}\int \left [ \nabla^2\psi^*\nabla\psi-\psi^*\nabla^3\psi \right ] \mathrm d \mathbf r + \int \left[ U(\mathbf r) \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla(U(\mathbf r) \psi)\right]\mathrm d \mathbf r
\end{align}</math>
また部分積分を使うと、
: <math>\begin{align}\int \nabla^2\psi^*\nabla\psi \mathrm d \mathbf r
&= [\nabla\psi^*\nabla\psi]^{+\infty}_{-\infty} - \int \nabla \psi^* \nabla^2 \psi \mathrm d \mathbf r \\
&= - [\psi^* \nabla^2 \psi]^{+\infty}_{-\infty} + \int \psi^* \nabla^3\psi \mathrm d \mathbf r \\
&= \int \psi^* \nabla^3\psi \mathrm d \mathbf r 
\end{align}</math>
加えて
: <math>\begin{align}
U \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla(U \psi)
&= U \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla U \psi - U \psi^* \nabla \psi \\
&= -\psi^*\nabla U \psi
\end{align}</math>
を用いると、
: <math>m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-\int \psi^* \nabla U \psi \mathrm d \mathbf r</math>
を得る。この右辺の[[積分]]は、期待値の導出法から<math>\nabla U</math>の期待値であるから、
: <math>m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-\langle \nabla U \rangle</math>
となる。
{{節スタブ}}
<!-- === 対応する運動方程式とその類似・相違点 === -->

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}
<!-- == 参考文献 == -->

== 関連項目 ==
<!-- {{Commonscat|Ehrenfest theorem}} -->
* [[古典物理学]]

<!-- == 外部リンク == -->

{{量子力学}}
{{Physics-stub}}

{{デフォルトソート:ええれんふえすとのていり}}
[[Category:量子力学の定理]]
[[Category:物理学のエポニム]]