エーレンフェストの定理

エーレンフェストの定理（エーレンフェストのていり、テンプレート:Lang-en-short）は、量子力学における重要な定理のひとつで、大まかにいえば『シュレーディンガー方程式の期待値を取ることで古典力学における運動方程式（に大変よく似たもの）が得られる』ことを主張している。この定理はオランダの物理学者ポール・エーレンフェストにより提唱され、量子力学と古典力学の対応を論じるときによく用いられる。

定理の主張

ポテンシャル$U$の影響下にある質量$m$の粒子Aの状態が、波動関数$\psi (𝐫)$であらわされているものとする。この状態にある粒子A（およびそれと同じ状態にある複数の粒子）の位置$\mathbf{\text{r}}=(x,y,z)$を測定した場合に得られる『観測値の期待値』をそれぞれ$⟨x⟩$、$⟨y⟩$、$⟨z⟩$とする。このとき、

$\begin{array}{cc}m\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}⟨x⟩& =-⟨\frac{\partial U}{\partial x}⟩\\ m\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}⟨y⟩& =-⟨\frac{\partial U}{\partial y}⟩\\ m\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}⟨z⟩& =-⟨\frac{\partial U}{\partial z}⟩\end{array}$

が成立する。なお、ここでは波動関数は規格化されているものとする。また、ここで、期待値を導き出す操作$⟨⟩$は、通常量子力学で行われている方法どおりで

$\begin{array}{cc}& ⟨x⟩=\int {\psi }^{*}(𝐫)x\psi (𝐫)\mathrm{d}𝐫\\ & ⟨\frac{\partial U}{\partial x}⟩=\int {\psi }^{*}(𝐫)\frac{\partial U}{\partial x}\psi (𝐫)\mathrm{d}𝐫\end{array}$

とする。他も同様である。

証明

まず、期待値の定義より

$\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}⟨𝐫⟩& =\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}\int {\psi }^{*}(𝐫,t)𝐫\psi (𝐫,t)\mathrm{d}𝐫\\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int [\frac{\partial {\psi }^{*}}{\partial t}𝐫\psi +{\psi }^{*}𝐫\frac{\partial \psi }{\partial t}]\mathrm{d}𝐫\end{array}$

を得る。ここでシュレーディンガー方程式より

$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int [\frac{\partial {\psi }^{*}}{\partial t}𝐫\psi +{\psi }^{*}𝐫\frac{\partial \psi }{\partial t}]\mathrm{d}𝐫& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int [-\frac{1}{i\hslash }(\hat{H}{\psi }^{*})𝐫\psi +{\psi }^{*}𝐫\frac{1}{i\hslash }(\hat{H}\psi )]\mathrm{d}𝐫\\ & =\frac{1}{i\hslash }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int [-\{-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+U(𝐫)\}{\psi }^{*}𝐫\psi +{\psi }^{*}𝐫\{\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+U(𝐫)\}\psi ]\mathrm{d}𝐫\\ & =\frac{1}{i\hslash }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int [\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2{\psi }^{*}𝐫\psi -{\psi }^{*}𝐫\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi ]\mathrm{d}𝐫\\ & =-\frac{i\hslash }{2m}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int [{\mathrm{\nabla }}^2{\psi }^{*}𝐫\psi -{\psi }^{*}𝐫{\mathrm{\nabla }}^2\psi ]\mathrm{d}𝐫\end{array}$

部分積分と、積分範囲が空間全体にわたること、及び波動関数は無限遠では0となるという仮定を用いると

$\begin{array}{cc}\int {\mathrm{\nabla }}^2{\psi }^{*}𝐫\psi \mathrm{d}𝐫& =[\mathrm{\nabla }{\psi }^{*}𝐫\psi {]}_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}-\int \mathrm{\nabla }{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }(𝐫\psi )\mathrm{d}𝐫\\ & =-[{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }(𝐫\psi ){]}_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}+\int {\psi }^{*}{\mathrm{\nabla }}^2(𝐫\psi )\mathrm{d}𝐫\\ & =\int {\psi }^{*}\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }𝐫\psi +𝐫\mathrm{\nabla }\psi )\mathrm{d}𝐫\\ & =\int [{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\psi +{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }(𝐫\mathrm{\nabla }\psi )]\mathrm{d}𝐫\\ & =\int [2{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\psi +{\psi }^{*}𝐫{\mathrm{\nabla }}^2\psi ]\mathrm{d}𝐫\end{array}$

これらを用いると

$m\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}⟨𝐫⟩=-i\hslash \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int {\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\psi \mathrm{d}𝐫=-i\hslash \int [\frac{\partial {\psi }^{*}}{\partial t}\mathrm{\nabla }\psi +{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\frac{\partial \psi }{\partial t}]\mathrm{d}𝐫$

再度シュレーディンガー方程式を用いて

$\begin{array}{cc}-i\hslash \int [\frac{\partial {\psi }^{*}}{\partial t}\mathrm{\nabla }\psi +{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\frac{\partial \psi }{\partial t}]\mathrm{d}𝐫& =-i\hslash \int [-\frac{1}{i\hslash }(\hat{H}{\psi }^{*})\mathrm{\nabla }\psi +{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\frac{1}{i\hslash }(\hat{H}\psi )]\mathrm{d}𝐫\\ & =\int [\{-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+U(𝐫)\}{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\psi -{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\{-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+U(𝐫)\}\psi ]\mathrm{d}𝐫\\ & =-\frac{{\hslash }^2}{2m}\int [{\mathrm{\nabla }}^2{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\psi -{\psi }^{*}{\mathrm{\nabla }}^3\psi ]\mathrm{d}𝐫+\int [U(𝐫){\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\psi -{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }(U(𝐫)\psi )]\mathrm{d}𝐫\end{array}$

また部分積分を使うと、

$\begin{array}{cc}\int {\mathrm{\nabla }}^2{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\psi \mathrm{d}𝐫& =[\mathrm{\nabla }{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\psi {]}_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}-\int \mathrm{\nabla }{\psi }^{*}{\mathrm{\nabla }}^2\psi \mathrm{d}𝐫\\ & =-[{\psi }^{*}{\mathrm{\nabla }}^2\psi {]}_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}+\int {\psi }^{*}{\mathrm{\nabla }}^3\psi \mathrm{d}𝐫\\ & =\int {\psi }^{*}{\mathrm{\nabla }}^3\psi \mathrm{d}𝐫\end{array}$

加えて

$\begin{array}{cc}U{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\psi -{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }(U\psi )& =U{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\psi -{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }U\psi -U{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\psi \\ & =-{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }U\psi \end{array}$

を用いると、

$m\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}⟨𝐫⟩=-\int {\psi }^{*}\mathrm{\nabla }U\psi \mathrm{d}𝐫$

を得る。この右辺の積分は、期待値の導出法から$\mathrm{\nabla }U$の期待値であるから、

$m\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}⟨𝐫⟩=-⟨\mathrm{\nabla }U⟩$

となる。 テンプレート:節スタブ

関連項目

• 古典物理学

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