オイラーの分割恒等式のソースを表示

[[数論]]、[[組合せ論]]における'''オイラーの分割恒等式'''（オイラーのぶんかつこうとうしき）は、[[自然数]]（[[正の数と負の数|正]]の[[整数]]）を「互いに異なる自然数に分割する方法の個数」(distinct partition; 異分割) と「[[奇数]]の自然数に分割する方法の個数」(odd partotion; 奇分割) が等しいことを示す恒等式である。<ref>{{PDFlink|[http://ousar.lib.okayama-u.ac.jp/files/public/5/52648/20160528114014100429/O0004419_fulltext.pdf 整数の分割の母関数と組合せ論 定理 2.4.]}}</ref>

== 分割の例 ==
例えば、自然数 8 を互いに異なる自然数に分割する方法
:8 = 1+2+5
:8 = 1+3+4
:8 = 1+7
:8 = 2+6
:8 = 3+5
:8 = 8
と奇数の自然数に分割する方法
:8 = 1+1+1+1+1+1+1+1
:8 = 1+1+1+1+1+3
:8 = 1+1+1+5
:8 = 1+1+3+3
:8 = 1+7
:8 = 3+5
の個数は等しく 6 である。

自然数 ''n'' をこのように分割する方法の個数を ''Q''(''n'') で表すと、
:''Q''(1) = 1, ''Q''(2) = 1, ''Q''(3) = 2, ''Q''(4) = 2, ''Q''(5) = 3, ''Q''(6) = 4, ''Q''(7) = 5, ''Q''(8) = 6, ''Q''(9) = 8, ''Q''(10) = 10, … （{{OEIS|A9}}）
などと続く。

== 母関数による表現 ==
[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]は2種類の分割の方法の個数が等しいことを、[[母関数]]を用いて示した。自然数 ''n'' を互いに異なる自然数に分割する方法の数を ''P''<sub>''d''</sub>(''n'') とすると
:<math>1+\sum_{n=1}^{\infty}P_d(n)x^n=\prod_{m=1}^{\infty}\left(1+x^m\right)</math>
である。また、自然数 ''n'' を奇数の自然数に分割する方法の数を ''P''<sub>''o''</sub>(''n'') とすると
:<math>1+\sum_{n=1}^{\infty}P_o(n)x^n=\prod_{m=1}^{\infty}\left(1+\sum_{k=1}^{\infty}x^{k(2m-1)}\right)=\prod_{m=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^{2m-1}}</math>
である。従って、オイラーの分割恒等式は
:<math>\prod_{m=1}^{\infty}\left(1+x^m\right)=\prod_{m=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^{2m-1}}</math>
と書き表される。

== 証明 ==
母関数で書き表したものの左辺を変形すると右辺が得られる。
:<math>\begin{align}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1+x^m\right)
&=\prod_{m=1}^{\infty}\frac{\left(1+x^m\right)\left(1-x^m\right)}{1-x^m}\\
&=\prod_{m=1}^{\infty}\frac{1-x^{2m}}{1-x^m}\\
&=\frac{1-x^{2 \cdot 1}}{1-x^1} \cdot \frac{1-x^{2 \cdot 2}}{1-x^2} \cdot \frac{1-x^{2 \cdot 3}}{1-x^3} \cdot \frac{1-x^{2 \cdot 4}}{1-x^4} \cdot ... \\
&=\prod_{m=1}^{\infty}\frac{1-x^{2m}}{\left(1-x^{2m-1}\right)\left(1-x^{2m}\right)}\\
&=\prod_{m=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^{2m-1}}\\
\end{align}</math>

== 初等的な説明 ==
例として 8 を分割することを考える。ここで ''P'' を「異なる数による分割」に現れる一つの[[偶数]]をその半分の二つの整数の和にする[[変換 (数学)|変換]]、''U'' を「奇数のみの分割」に現れる同じ二つの整数を一つの偶数にする変換とすると
:<math>1+(2)+5 \xrightarrow{\quad P \quad} 1+[1+1]+5 \xrightarrow{\quad U \quad} 1+2+5</math>
:<math>1+3+(4) \xrightarrow{\quad P \quad} 1+[(2)+(2)]+3 \xrightarrow{\quad P \quad} 1+[1+1]+[1+1]+3 \xrightarrow{\quad U \quad} 1+((2)+(2))+3 \xrightarrow{\quad U \quad} 1+3+4</math>
:<math>1+7 \xrightarrow{\quad I \quad} 1+7</math>
:<math>(2)+(6) \xrightarrow{\quad P \quad} [1+1]+[3+3] \xrightarrow{\quad U \quad} 2+6</math>
:<math>3+5 \xrightarrow{\quad I \quad} 3+5</math>
:<math>(8) \xrightarrow{P} [(4)+(4)] \xrightarrow{P} [(2)+(2)]+[(2)+(2)] \xrightarrow{P} [1+1]+[1+1]+[1+1]+[1+1] \xrightarrow{U} (2+2)+(2+2) \xrightarrow{U} (4+4) \xrightarrow{U} 8</math>
このように「異なる数による分割」の方法と「奇数のみの分割」の方法との間に[[全単射|1対1対応]]がつけられる。これはPとUが互いに逆の変換であることから導かれる。したがってそれらの方法の個数は互いに等しい。ただし上記の 1+7 や 3+5 のような「異なる数による分割」と「奇数のみの分割」の両方に属するような方法は自分自身に対応づけることとする。その場合は[[写像#自明な写像|恒等写像]] ''I'' で表した。

== 注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Citation |last1=Andrews|first1=George E.|last2=Eriksson|first2=Kimmo  |title=Integer Partitions |edition=2nd|publisher=Cambridge University Press |year=2004 |isbn=0-521-60090-1}}
**{{Cite book|和書|author=ジョージ・アンドリュース|coauthors=キムモ・エリクソン|others=[[佐藤文広]] 訳|date=2006-05|title=整数の分割|publisher=[[数学書房]](出版) 白揚社(発売)|isbn=978-4-8269-3103-8|url=http://www.sugakushobo.co.jp/903342_61_mae.html|ref={{Harvid|アンドリュース|エリクソン|2006}}}} - 注記：[[#CITEREFAndrewsEriksson2004|原著第2版]]の翻訳。
*{{Citation |last1=Hardy |first1=G. H. |author1-link=ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|last2=Wright |first2=E. M. |authorlink2=E. M. Wright |editor1-last=Heath-Brown |editor1-first=D. R. |editor1link=Roger Heath-Brown |editor2-last=Silverman |editor2-first=J. H. |editor2link=Joseph H. Silverman  |editor3-last=Wiles |editor3-first=Andrew |editor3link=アンドリュー・ワイルズ|title=An Introduction to the Theory of Numbers |edition=6th |publisher=Oxford University Press |location=Oxford |year=2008 |origyear=1938 |isbn=978-0-19-921985-8}}
**{{Cite book|和書|author=G.H.ハーディ|authorlink=ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|coauthors=E.M.ライト|others=[[示野信一]]・[[矢神毅]] 訳|date=2012-04|title=数論入門|volume=II|chapter=第19章　分割|series=シュプリンガー数学クラシックス9|publisher=[[丸善出版]]|isbn=978-4-621-06247-0|url=https://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/book_data/search/9784621062470.html|ref={{Harvid|ハーディ|ライト|2012}}}} - 注記：[[#CITEREFHardyWright2008|原著第5版]]の翻訳。

== 関連項目 ==
{{Div col}}
* [[自然数の分割]]
* [[分割数]]
*[[ロジャース＝ラマヌジャン恒等式]]: 和因子が&plusmn;1 (mod 4)であるオイラーの分割恒等式のmod 5版
*[[シューアの分割定理]]: 和因子が&plusmn;1 (mod 4)であるオイラーの分割恒等式のmod 6版
* [[グレイシャーの定理]]: オイラーの分割恒等式、および[[ロジャース＝ラマヌジャン恒等式|ロジャース＝ラマヌジャン分割恒等式]]を一般化する。グレイシャー対応。
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=PartitionFunctionQ|title=Partition Function Q}}
* Alexander D. Healy, [http://www.alexhealy.net/papers/math192.pdf Partition Identities]
* {{PDFlink|[http://mathsoc.jp/publication/tushin/1502/1502mizuno.pdf アンドリュ－ス, エリクソン『整数の分割』書評]}}

{{DEFAULTSORT:おいらあのふんかつこうとうしき}}
[[Category:数論]]
[[Category:恒等式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:レオンハルト・オイラー]]
[[Category:数学のエポニム]]