オイラーの式のソースを表示

'''オイラーの式'''（オイラーのしき）は、[[レオンハルト・オイラー]]の名を冠する数式。以下のように多数の公式や方程式が存在する。

==数学==
===関数===
* '''[[オイラーの公式]]''' &nbsp;（[[:en:Euler's formula|Euler's formula]]） - [[指数関数]]と[[三角関数]]の関係式。
::<math>e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta </math>
* '''[[オイラーの等式]]''' &nbsp;（[[:en:Euler's identity|Euler's identity]]） - 上記の関係式で <math>\theta=\pi</math> のときに導かれる等式。
::<math>e^{i\pi}+1=0</math>
===代数===
*'''[[オイラーの四平方恒等式]]''' &nbsp;（[[:en:Euler's four-square identity|Euler's four-square identity]]）
===級数===
* オイラー多項式（Euler poynomial）<ref>『数学公式ハンドブック』p.49</ref>
::<math>E_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}\frac{E_{k}}{2^k} \left(x-\frac{1}{2}\right)^{n-k}</math>
* '''[[オイラーの和公式]]''' - オイラー＝マクローリンの和の公式（[[:en:Euler–Maclaurin formula|Euler–Maclaurin summation formula]]）とも呼ばれる。
::<math>\sum_{j=0}^{n-1}f(j)=\int_{0}^{n}f(x)dx+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{k}}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R_{m}</math>
===幾何学===
* オイラーの多面体定理 - [[多面体]]を参照。

==物理学==
===流体力学===
* [[オイラー方程式 (流体力学)]] &nbsp;（[[:en:Euler equations (fluid dynamics)|Euler equations (fluid dynamics)]]） - [[完全流体]]に関する[[運動方程式]]。
::<math>\frac{D \boldsymbol{v}}{D t} = \boldsymbol{K} - \frac{1}{\rho} \, \mathrm{grad} \, p</math>　　<math>\left( \frac{D \boldsymbol{v}}{D t} = \frac{\partial}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \nabla \right)</math>

*流体に関するオイラーの連続の方程式　⇒[[連続の方程式]]を参照。
::<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathrm{div} (\rho \boldsymbol{v})=0</math>
===剛体の力学===
* [[オイラーの運動方程式]] &nbsp;（[[:en:Euler's equations (rigid body dynamics)|Euler's equations (rigid body dynamics)]]） - [[剛体]]の[[回転]]に関する運動方程式。

===解析力学===
* オイラー方程式 &nbsp; - [[変分法]]による運動方程式。[[解析力学]]の[[基礎方程式]]でもあり、[[オイラー＝ラグランジュ方程式]] &nbsp;（[[:en:Euler–Lagrange equation|Euler–Lagrange equation]]）とも呼ばれる。
::<math>\frac{\partial L}{\partial q_i} -\frac{d}{dt} \left(
 \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}
 \right) =0</math>

==工学==
* オイラーの式 - [[座屈]]に関する公式。

== 注釈 ==
{{Reflist|1}}

==関連項目==
*[[:en:List of things named after Leonhard Euler]]（レオンハルト・オイラーにちなんで名づけられたものの一覧）

{{Aimai}}
{{デフォルトソート:おいらあのしき}}