オイラーの式

オイラーの式（オイラーのしき）は、レオンハルト・オイラーの名を冠する数式。以下のように多数の公式や方程式が存在する。

数学

関数

• オイラーの公式  （Euler's formula） - 指数関数と三角関数の関係式。

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

• オイラーの等式  （Euler's identity） - 上記の関係式で $\theta =\pi$ のときに導かれる等式。

$e^{i\pi }+1=0$

代数

• オイラーの四平方恒等式  （Euler's four-square identity）

級数

• オイラー多項式（Euler poynomial）

$E_n(x)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{E_k}{2^k}{(x-\frac{1}{2})}^{n-k}$

• オイラーの和公式 - オイラー＝マクローリンの和の公式（Euler–Maclaurin summation formula）とも呼ばれる。

$\sum _{j=0}^{n-1}f(j)=\underset{0}{\overset{n}{\int }}f(x)dx+\sum _{k=1}^m\frac{B_k}{k!}(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0))+R_m$

幾何学

• オイラーの多面体定理 - 多面体を参照。

物理学

流体力学

• オイラー方程式 (流体力学)  （Euler equations (fluid dynamics)） - 完全流体に関する運動方程式。

$\frac{D𝒗}{Dt}=𝑲-\frac{1}{\rho }\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}p$　　$(\frac{D𝒗}{Dt}=\frac{\partial }{\partial t}+𝒗\cdot \mathrm{\nabla })$

• 流体に関するオイラーの連続の方程式　⇒連続の方程式を参照。

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\rho 𝒗)=0$

剛体の力学

• オイラーの運動方程式  （Euler's equations (rigid body dynamics)） - 剛体の回転に関する運動方程式。

解析力学

• オイラー方程式   - 変分法による運動方程式。解析力学の基礎方程式でもあり、オイラー＝ラグランジュ方程式  （Euler–Lagrange equation）とも呼ばれる。

$\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)=0$

工学

• オイラーの式 - 座屈に関する公式。

関連項目

• en:List of things named after Leonhard Euler（レオンハルト・オイラーにちなんで名づけられたものの一覧）