オイラー積分のソースを表示

[[数学]]において、'''オイラー積分'''（オイラーせきぶん, {{lang-en-short|Euler integral, Eulerian integral}}）とは、数学者[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]、[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル|ルジャンドル]]によって[[研究]]された[[積分法|積分]]<ref>*L. Euler, ''Nov. Comm. Petrop.'', XVI.(1772)</ref><ref>{{Cite book ||title=Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures |author1= A. M. Legendre|authorlink= アドリアン＝マリ・ルジャンドル|volume=1|page=221|url=https://archive.org/details/exercicescalculi01legerich}}</ref>。'''第一種オイラー積分'''と'''第二種オイラー積分'''の2つが存在し、それぞれが[[ベータ関数]]と[[ガンマ関数]]に相当する。 '''オイラー積分'''の[[名前|名]]は[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル|ルジャンドル]]によって与えられた。

==概要==

'''第一種オイラー積分'''（Euler integral of the first kind）は[[ベータ関数]]とも呼ばれ、<math>\Re(x)>0</math>, <math>\Re(y)>0</math>を満たす<math>x</math>, <math>y</math>に対して、
:<math>\Beta(x,y)= \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt =\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math>
で[[定義]]される。

'''第二種オイラー積分'''（Euler integral of the second kind）は[[ガンマ関数]]とも呼ばれ、<math>\Re(z) >0</math>を満たす<math>z</math>に対して、
:<math>\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt</math>
で[[定義]]される。

'''オイラー積分'''の性質として、[[正の数と負の数|正]]の[[整数]]<math>l</math>, <math>m</math>, <math>n</math>に対して、

{{Indent|<math>\Beta(l,m)= {(l-1)!(m-1)! \over (l+m-1)!}={l+m \over lm{l+m \choose l}}</math>}}

{{Indent|<math>\Gamma(n) = (n-1)! \,</math>}}

という表示もある。

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
*E. T. Whittaker and G. N. Watson, ''A Course of Modern Analysis''. Cambridge University Press 1927.

==関連項目==
*[[レオンハルト・オイラー]]
*[[階乗]]
*[[ガンマ関数]]
*[[ベータ関数]]
*[[特殊関数]]
*[[超幾何関数]]
{{integral}}
{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:おいらあせきふん}}
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:レオンハルト・オイラー]]
[[Category:数学のエポニム]]