オイラー積分

数学において、オイラー積分（オイラーせきぶん, テンプレート:Lang-en-short）とは、数学者オイラー、ルジャンドルによって研究された積分。第一種オイラー積分と第二種オイラー積分の2つが存在し、それぞれがベータ関数とガンマ関数に相当する。 オイラー積分の名はルジャンドルによって与えられた。

概要

第一種オイラー積分（Euler integral of the first kind）はベータ関数とも呼ばれ、$\mathrm{\Re }(x)>0$, $\mathrm{\Re }(y)>0$を満たす$x$, $y$に対して、

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$

で定義される。

第二種オイラー積分（Euler integral of the second kind）はガンマ関数とも呼ばれ、$\mathrm{\Re }(z)>0$を満たす$z$に対して、

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$

で定義される。

オイラー積分の性質として、正の整数$l$, $m$, $n$に対して、

という表示もある。

参考文献

• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.

関連項目

• レオンハルト・オイラー
• 階乗
• ガンマ関数
• ベータ関数
• 特殊関数
• 超幾何関数