オストロフスキーの定理のソースを表示

[[数論]]において、'''オストロフスキーの定理''' (オストロフスキーのていり、Ostrowski's theorem) とは、[[有理数]]体 '''Q''' 上の全ての非自明な付値は、通常の実数の[[絶対値]]か、または、[[p-進数|{{mvar|p}}-進]]付値に同値であるという定理である<ref>{{cite book |last=Koblitz |first=Neal |authorlink=Neal Koblitz |title=P-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions |year=1984 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |isbn=978-0-387-96017-3 |url=http://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-96017-3 |edition=2nd |accessdate=24 August 2012 |page=3 |quote='''Theorem 1''' (Ostrowski). ''Every nontrivial norm'' ‖ ‖ ''on'' ℚ ''is equivalent to'' {{math|{{abs|&nbsp;}}<sub>''p''</sub>}} ''for some prime {{mvar|p}} or for'' {{math|1=''p'' = ∞}}.}}</ref>。1916年に{{仮リンク|アレクサンドル・オストロフスキー (数学者)|label=アレクサンドル・オストロフスキー|en|Alexander Ostrowski}} (Alexander Ostrowski) によって証明された。

== 定義 ==
[[可換体|体]] {{mvar|K}} 上の 2つの{{仮リンク|絶対値 (代数学)|label=絶対値|en|Absolute value (algebra)}}（[[付値#乗法付値|付値]]） <math>|\cdot|</math> と <math>|\cdot|_{\ast}</math> は、ある[[実数]] {{math|''c'' > 0}} が存在して
:全ての <math>x \in K</math> に対し、<math>|x|_{\ast} = |x|^{c}</math>
となるとき、'''同値'''であると定義される。

任意の体 {{mvar|K}} 上の'''自明な絶対値'''は、
:<math>|x|_{0} := \begin{cases} 0, & \text{if }  x = 0  \\ 1,  & \text{if } x \ne 0 \end{cases} </math>
と定義される。

[[有理数|有理数体]] '''Q''' 上の'''実絶対値'''は、実数上の標準的[[絶対値]]で、
:<math>|x|_\infty := \begin{cases} x, & \text{if }  x \ge 0  \\ -x,  & \text{if } x < 0\end{cases} </math>
と定義される。添え字は無限大の代わりに 1 とすることもある。

[[素数]] {{mvar|p}} に対し、'''Q''' 上の {{mvar|p}}-進絶対値は、次のように定義される。0 ではない任意の有理数 {{mvar|x}} は、どの2つも[[互いに素 (整数論)|互いに素]]な整数 {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|p}} および整数 {{mvar|n}} により一意的に <math>x=p^{n}\dfrac{a}{b}</math> と書くことができる。そこで
:<math>|x|_{p} := \begin{cases} 0, & \text{if }  x = 0  \\ p^{-n},  & \text{if }  x \ne 0\end{cases} </math>
と定義する。

== 他のオストロフスキーの定理 ==
他にもオストロフスキーの定理と呼ばれる定理が存在し、それは「[[付値#アルキメデス付値|アルキメデス付値]]に関して[[完備]]な任意の体は、（代数的にも位相的にも）[[実数]]体か[[複素数]]体に同型である」ということを主張する<ref>Cassels (1986) p. 33</ref>。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book | last=Cassels | first=J. W. S. | authorlink=J. W. S. Cassels
 | title=Local Fields
 | series=London Mathematical Society Student Texts
 | volume=3
 | publisher=[[Cambridge University Press]]
 | year=1986
 | isbn=0-521-31525-5
 | zbl=0595.12006 }}
*{{cite book | last=Janusz | first=Gerald J.
 | title = Algebraic Number Fields
 | edition = 2nd
 | publisher = American Mathematical Society
 | year = 1996, 1997
 | isbn = 0-8218-0429-4}} 
*{{cite book | last=Jacobson | first=Nathan | authorlink = Nathan Jacobson
 | title = Basic algebra II
 | edition = 2nd
 | year = 1989
 | publisher = W H Freeman
 | isbn = 0-7167-1933-9}}
*{{cite journal | last=Ostrowski | first=Alexander | authorlink = Alexander Ostrowski
 | title = Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x)·φ(y)=φ(xy)
 | edition = 2nd
 | year = 1916
 | journal = Acta Mathematica
 | issn = 0001-5962
 | volume = 41
 | issue = 1
 | pages = 271–284
 | url = http://www.springerlink.com/content/96042g7576003r71/
 | doi = 10.1007/BF02422947}}

== 関連項目 ==
* [[付値]]
* [[絶対値]]
* [[実数|実数体]]
* [[p進体]]

{{DEFAULTSORT:おすとふすきいのていり}}
[[Category:数論の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]