オストロフスキーの定理

数論において、オストロフスキーの定理 (オストロフスキーのていり、Ostrowski's theorem) とは、有理数体 Q 上の全ての非自明な付値は、通常の実数の絶対値か、または、[[p-進数|テンプレート:Mvar-進]]付値に同値であるという定理である。1916年にテンプレート:仮リンク (Alexander Ostrowski) によって証明された。

定義

体 テンプレート:Mvar 上の 2つのテンプレート:仮リンク（付値） $|\cdot |$ と $|\cdot {|}_{\ast }$ は、ある実数 テンプレート:Math が存在して

全ての $x\in K$ に対し、$|x{|}_{\ast }=|x{|}^c$

となるとき、同値であると定義される。

任意の体 テンプレート:Mvar 上の自明な絶対値は、

$|x{|}_0:=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }x=0\\ 1,& \text{if }x\ne 0\end{array}$

と定義される。

有理数体 Q 上の実絶対値は、実数上の標準的絶対値で、

$|x{|}_{\mathrm{\infty }}:=\{\begin{array}{cc}x,& \text{if }x\ge 0\\ -x,& \text{if }x<0\end{array}$

と定義される。添え字は無限大の代わりに 1 とすることもある。

素数 テンプレート:Mvar に対し、Q 上の テンプレート:Mvar-進絶対値は、次のように定義される。0 ではない任意の有理数 テンプレート:Mvar は、どの2つも互いに素な整数 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar および整数 テンプレート:Mvar により一意的に $x=p^n\frac{a}{b}$ と書くことができる。そこで

$|x{|}_p:=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }x=0\\ p^{-n},& \text{if }x\ne 0\end{array}$

と定義する。

他のオストロフスキーの定理

他にもオストロフスキーの定理と呼ばれる定理が存在し、それは「アルキメデス付値に関して完備な任意の体は、（代数的にも位相的にも）実数体か複素数体に同型である」ということを主張する。

参考文献

• テンプレート:Cite book
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• テンプレート:Cite journal

関連項目

• 付値
• 絶対値
• 実数体
• p進体