オノの不等式のソースを表示

[[幾何学]]における'''オノの不等式'''（オノのふとうしき、''Ono's inequality''）は、[[三角形]]の[[辺]]と[[面積]]に関する[[不等式]]である。

[[1914年]]に T.オノ<ref>当時[[第七高等学校造士館 (旧制)|第七高等学校造士館]][[教授]]であった小野藤太 (ONO, Tôda) ではないかとみられる。</ref>はこの式が任意の三角形について成り立つと[[予想 (数学)|予想]]したが、[[1916年]]に Balitrand によって予想が誤りであることと[[鋭角三角形]]であればこの式が成り立つことが示された。

== 不等式 ==
鋭角三角形の3辺を ''a'', ''b'', ''c'' 、面積を ''S'' としたとき、以下の不等式が成り立つ。

:<math>27 (b^2 + c^2 - a^2)^2 (c^2 + a^2 - b^2)^2 (a^2 + b^2 - c^2)^2 \leq (4 S)^6.</math>

この式は[[鈍角三角形]]だと成り立たないことがある。[[反例]]としては ''a'' = 3, ''b'' = 2, ''c'' = 4 のような例が挙げられる。

== 証明 ==
与式の両辺を <math>64(abc)^4</math> で割る。
:<math>27 \frac{(b^2 + c^2 - a^2)^2}{4b^2c^2} \frac{(c^2 + a^2 - b^2)^2}{4a^2c^2} \frac{(a^2 + b^2 - c^2)^2}{4a^2b^2} \leq \frac{4S^2}{b^2c^2} \frac{4S^2}{a^2c^2} \frac{4S^2}{a^2b^2}</math>

左辺に[[余弦定理]]を適用し、右辺に <math>S=\frac{bc\sin{A}}{2}</math> などを適用する。
:<math>27 (\cos{A} \cos{B} \cos{C})^2 \leq (\sin{A} \sin{B} \sin{C})^2</math>

任意の三角形について成り立つ[[恒等式]] <math>\tan{A} + \tan{B} + \tan{C} = \tan{A} \tan{B} \tan{C}</math> を利用して変形する。
:<math>27\tan{A} \tan{B} \tan{C} \leq (\tan{A} + \tan{B} + \tan{C})^3</math>

鋭角三角形であれば各内角の正接は正なので、[[平均#関係式|相加相乗平均の関係]]より上の式は成り立つ。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[三角形に関する不等式の一覧]]

== 参照 ==
* {{cite journal
| last = Balitrand
| first = F.
| title = Problem 4417
| journal = [[L'Intermédiaire des mathématiciens|Interméd. Math.]]
| volume = 23
| pages = 86&ndash;87
| year = 1916
}}
* {{cite journal
| last = Ono
| first = T.
| title = Problem 4417
| journal = Interméd. Math.
| volume = 21
| pages = 146
| year = 1914
}}
* {{cite journal
| last = Quijano
| first = G.
| title = Problem 4417
| journal = Interméd. Math.
| volume = 22
| pages = 66
| year = 1915
}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=OnoInequality|title=Ono inequality}}
{{否定された予想}}
{{DEFAULTSORT:おののふとうしき}}
[[Category:三角形]]
[[Category:不等式]]
[[Category:人名を冠した数式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:反証された予想]]