カイ二乗分布のソースを表示

{{確率分布
|名前 = カイ二乗分布
|型 = 密度
|画像/確率関数 = [[画像:chi-square distributionPDF.png|325px|Probability density plots of gamma distributions]]
|画像/分布関数 = [[画像:chi-square distributionCDF.png|325px|Cumulative distribution plots of gamma distributions]]
|母数 = <math>k\in \mathbb{N}</math>
|台 = {{math|[0, ∞)}}
|確率関数 = <math>\frac{x^{k/2-1}e^{-x/2}}{\,2^{k/2} \Gamma(k/2)}</math>
|分布関数 = <math>\frac{\gamma(k/2, x/2)}{\Gamma(k/2)}</math>
|期待値 = {{mvar|k}}
|中央値 = <math>\simeq k-\frac{2}{3}+\frac{4}{27k}-\frac{8}{729k^2}</math>
|最頻値 = {{math2|0 for ''k'' < 2<br />''k'' &minus; 2 for ''k'' ≥ 2}}
|分散 = {{math|2''k''}}
|歪度 = <math>\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{k}}</math>
|尖度 = {{math|{{sfrac|12|''k''}}}}
|エントロピー = {{math2|{{sfrac|''k''|2}} + ln 2 + ln Γ({{sfrac|''k''|2}})<br />+ (1 &minus; {{sfrac|''k''|2}})ψ({{sfrac|''k''|2}})}}
|モーメント母関数 = <math>\frac{1}{(1-2t)^{k/2}}\text{ for }t < 1/2</math>
|特性関数 = <math>\frac{1}{(1-2it)^{k/2}}</math>
}}
'''カイ二乗分布'''（カイにじょうぶんぷ、カイじじょうぶんぷ）、または'''χ{{sup|2}}分布'''は[[確率分布]]の一種で、[[推計統計学]]で最も広く利用されるものである。[[フリードリヒ・ロベルト・ヘルメルト|ヘルメルト]]により発見され<ref>Helmert, F. R. (1875): ''Ueber die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler'', Zeitschrift für Mathematik und Physik, '''20''', 300-303, {{Internet Archive|id=zeitschriftfrma29runggoog/page/n287}}.</ref>、[[カール・ピアソン|ピアソン]]により命名された<ref>Pearson, K. (1900): ''On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is such that it Can Reasonably Be Supposed to have Arisen from Random Sampling'', Philosophical Magazine 5, '''50''', 157-175, {{doi|10.1080/14786440009463897}}.</ref>。

[[独立 (確率論)|独立]]に標準[[正規分布]]に従う {{mvar|k}} 個の[[確率変数]] {{math2|''X''{{sub|1}}, …, ''X{{sub|k}}''}} をとる。このとき、[[統計量]]
:<math>Z=\sum_{i=1}^k {X_i}^2</math>
の従う分布のことを自由度 {{mvar|k}} のカイ二乗分布と呼ぶ。

普通はこれを
:<math>Z\sim \chi^2_k</math>
と書く。カイ二乗分布は {{mvar|k}} という1個の[[母数]]をもつ。これは {{mvar|X{{sub|i}}}} の[[自由度]]に等しい正の[[整数]]である（場合によっては非整数自由度のカイ二乗分布も用いられる）。カイ二乗分布は[[ガンマ分布]]の特殊な場合に当たる。

カイ二乗分布は[[カイ二乗検定]]と総称される多くの検定法のほか、{{ill|フリードマン検定|en|Friedman test}}などにも利用される。

== 性質 ==
カイ二乗分布の[[確率密度関数]]は {{math2|''x'' ≥ 0}} に対し
:<math>f(x;k)=\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}</math>
また {{math2|''x'' ≤ 0}} に対し {{math2|''f{{sub|k}}''(''x'') {{=}} 0}} という形をとる。ここで {{mvar|Γ}} は[[ガンマ関数]]である。

[[確率分布#累積分布関数|分布関数]]は
:<math>F(x;k)=\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}</math>
（ただし {{math|''γ''(''k'', ''z'')}} は[[不完全ガンマ関数]]）である。

<math>Y = \frac{X_1 / \nu_1}{X_2 / \nu_2}</math>（ただし <math>X_1 \sim \chi_{\nu_1}^2</math> と <math>X_2 \sim \chi_{\nu_2}^2</math> はカイ二乗分布に従う独立な確率変数）とすると、<math>Y \sim \mathrm{F}(\nu_1, \nu_2)</math>、つまり自由度で割って比をとると[[F分布]]に従う。

<math>X \sim \chi_2^2</math>（自由度2）ならば、{{mvar|X}} は期待値 {{math|2}} の[[指数分布]]に従う。

自由度 {{mvar|k}} のカイ二乗分布に従う確率変数の[[期待値]]は {{mvar|k}} で、[[分散 (確率論)|分散]]は {{math|2''k''}} である。中央値は近似的に
:<math>k-\frac{2}{3}+\frac{4}{27k}-\frac{8}{729k^2}</math>
となる。

カイ二乗分布は[[再生性]]を持つ。すなわち、<math>X \sim \chi_m^2, \ Y \sim \chi_n^2</math> ならば、<math>X+Y\sim \chi_{m+n}^2</math> となる。

== 正規分布による近似 ==
<math>X\sim \chi^2_k</math> として、{{mvar|k}} が無限大に近づくと {{mvar|X}} の分布は正規分布に近づくが、近づき方はゆっくりしている（[[歪度]] <math>\sqrt{\frac{8}{k}}</math>、[[尖度]] {{math|{{sfrac|12|''k''}}}}）ため、{{mvar|X}} 自体より速く正規分布に近づく次の2つの方法が普通用いられる。
*<math>\sqrt{2X}</math> は近似的に平均 {{math|{{sqrt|2''k'' &minus; 1}}}}、分散 {{math|1}} の正規分布に従う（[[ロナルド・フィッシャー]]）。
*<math>\sqrt[3]{\frac{X}{k}}</math> は近似的に平均 {{math|1 &minus; {{sfrac|2|9''k''}}}}、分散 {{math|{{sfrac|2|9''k''}}}} の正規分布に従う（ウィルソンとヒルファティ、[[1931年]]）。

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
*[[確率分布]]
*[[確率密度関数]]
*[[カイ二乗検定]]
*[[非心カイ二乗分布]]
*[[ガンマ関数]]
*[[ガンマ分布]]
*[[推計統計学]]

{{確率分布の一覧}}

{{DEFAULTSORT:かいししようふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:数学に関する記事]]