カイ二乗分布

テンプレート:確率分布 カイ二乗分布（カイにじょうぶんぷ、カイじじょうぶんぷ）、またはχテンプレート:Sup分布は確率分布の一種で、推計統計学で最も広く利用されるものである。ヘルメルトにより発見され、ピアソンにより命名された。

独立に標準正規分布に従う テンプレート:Mvar 個の確率変数 テンプレート:Math2 をとる。このとき、統計量

$Z=\sum _{i=1}^k{X_i}^2$

の従う分布のことを自由度 テンプレート:Mvar のカイ二乗分布と呼ぶ。

普通はこれを

$Z\sim {\chi }_k^2$

と書く。カイ二乗分布は テンプレート:Mvar という1個の母数をもつ。これは テンプレート:Mvar の自由度に等しい正の整数である（場合によっては非整数自由度のカイ二乗分布も用いられる）。カイ二乗分布はガンマ分布の特殊な場合に当たる。

カイ二乗分布はカイ二乗検定と総称される多くの検定法のほか、テンプレート:Illなどにも利用される。

性質

カイ二乗分布の確率密度関数は テンプレート:Math2 に対し

$f(x;k)=\frac{1}{2^{k/2}\mathrm{\Gamma }(k/2)}{x}^{k/2-1}{e}^{-x/2}$

また テンプレート:Math2 に対し テンプレート:Math2 という形をとる。ここで テンプレート:Mvar はガンマ関数である。

分布関数は

$F(x;k)=\frac{\gamma (k/2,x/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}$

（ただし テンプレート:Math は不完全ガンマ関数）である。

$Y=\frac{X_1/{\nu }_1}{X_2/{\nu }_2}$（ただし $X_1\sim {\chi }_{{\nu }_1}^2$ と $X_2\sim {\chi }_{{\nu }_2}^2$ はカイ二乗分布に従う独立な確率変数）とすると、$Y\sim \mathrm{F}({\nu }_1,{\nu }_2)$、つまり自由度で割って比をとるとF分布に従う。

$X\sim {\chi }_2^2$（自由度2）ならば、テンプレート:Mvar は期待値 テンプレート:Math の指数分布に従う。

自由度 テンプレート:Mvar のカイ二乗分布に従う確率変数の期待値は テンプレート:Mvar で、分散は テンプレート:Math である。中央値は近似的に

$k-\frac{2}{3}+\frac{4}{27k}-\frac{8}{729k^2}$

となる。

カイ二乗分布は再生性を持つ。すなわち、$X\sim {\chi }_m^2,Y\sim {\chi }_n^2$ ならば、$X+Y\sim {\chi }_{m+n}^2$ となる。

正規分布による近似

$X\sim {\chi }_k^2$ として、テンプレート:Mvar が無限大に近づくと テンプレート:Mvar の分布は正規分布に近づくが、近づき方はゆっくりしている（歪度 $\sqrt{\frac{8}{k}}$、尖度 テンプレート:Math）ため、テンプレート:Mvar 自体より速く正規分布に近づく次の2つの方法が普通用いられる。

• $\sqrt{2X}$ は近似的に平均 テンプレート:Math、分散 テンプレート:Math の正規分布に従う（ロナルド・フィッシャー）。
• $\sqrt[3]{\frac{X}{k}}$ は近似的に平均 テンプレート:Math、分散 テンプレート:Math の正規分布に従う（ウィルソンとヒルファティ、1931年）。

関連項目

• 確率分布
• 確率密度関数
• カイ二乗検定
• 非心カイ二乗分布
• ガンマ関数
• ガンマ分布
• 推計統計学