再生性

テンプレート:出典の明記 確率分布の族における再生性（さいせいせい、テンプレート:Lang-en-short）とは、同じ分布族に含まれる確率分布を持つ2つの独立な確率変数に対して、その和の確率分布もまた同じ族に含まれる性質のことを言う。

定義

分布族$𝔽$を考える。

任意の確率分布$F_1,F_2\in 𝔽$に対して、F_iに従う互いに独立な確率変数をX_iとおく ($i=1,2$) 。これを$X_i\sim F_i$と書く（以下同様）。

このとき、$X_1+X_2$の確率分布Fが$F\in 𝔽$を満たすならば、分布族$𝔽$は再生性を持つという。

ある分布族が再生性を持つということは、その分布族が畳み込み演算について閉じていることを意味する。

再生性を持つ分布族

以下で用いられる2つの確率変数 テンプレート:Math2 は互いに独立であると仮定する。

正規分布

$X_i\sim \text{N}({\mu }_i,{\sigma }_i^2)(i=1,2)⟶X_1+X_2\sim \text{N}({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$

コーシー分布

コーシー分布に従う2つの確率変数の和は、再びコーシー分布に従う。

ガンマ分布

$X_i\sim \text{Gamma}(k_i,\theta )(i=1,2)⟶X_1+X_2\sim \text{Gamma}(k_1+k_2,\theta )$

尺度母数 テンプレート:Mvar が異なる場合は当てはまらない。

特に テンプレート:Math2 が整数である場合はアーラン分布を表し、このことからアーラン分布も再生性を持つことが分かる。同様に、テンプレート:Math2 が半整数である場合はカイ二乗分布に相当し、同様に再生性を持つ。

二項分布

$X_i\sim \text{B}(n_i,p)(i=1,2)⟶X_1+X_2\sim \text{B}(n_1+n_2,p)$

確率 テンプレート:Mvar が異なる場合は当てはまらない。

負の二項分布

$X_i\sim \text{NB}({\alpha }_i,p)(i=1,2)⟶X_1+X_2\sim \text{NB}({\alpha }_1+{\alpha }_2,p)$

確率 テンプレート:Mvar が異なる場合は当てはまらない。

ポアソン分布

$X_i\sim \text{Po}({\lambda }_i)(i=1,2)⟶X_1+X_2\sim \text{Po}({\lambda }_1+{\lambda }_2)$

カイ二乗分布

$X_1\sim {\chi }_n^2,X_2\sim {\chi }_m^2(n,m\in \mathbb{N})⟶X_1+X_2\sim {\chi }_{n+m}^2$

関連項目

• 安定分布