指数分布

テンプレート:確率分布 指数分布（しすうぶんぷ、テンプレート:Lang-en-short）とは、確率論および統計学における連続確率分布の一種である。これは例えばポアソン過程——事象が連続して独立に一定の発生率で起こる過程——に従う事象の時間間隔を記述する。

定義

指数分布は台 テンプレート:Math を持ち、母数 テンプレート:Math に対して確率密度関数が

$f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x}$

で与えられるテンプレート:Sfn。このとき、累積分布関数は

$F(x;\lambda )=1-e^{-\lambda x}$

となるテンプレート:Sfn。

テンプレート:仮リンク テンプレート:Math2 を用いると、確率密度関数の等価な定義は

$f(x;\theta )=\frac{1}{\theta }f(x/\theta ;1)=\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }$

として与えられる。

性質

期待値・分散

定義より、期待値 テンプレート:Math および分散 テンプレート:Math はそれぞれ以下のようになる。

$E(x)=\frac{1}{\lambda }=\theta ,V(x)=\frac{1}{{\lambda }^2}={\theta }^2$

他の分布との関係

独立で同一の指数分布に従う確率変数の和はアーラン分布に従う。アーラン分布の形状母数を 1 とすると指数分布に自明に一致する。

また、自由度2のカイ二乗分布は テンプレート:Math2 の指数分布と一致する。ワイブル分布における係数 テンプレート:Math2 とおいた特殊な場合でもある。

無記憶性

指数分布は、幾何分布と同様に無記憶性 (memoryless) と呼ばれる性質を持つ。これは、確率変数 テンプレート:Mvar が

$\mathrm{\forall }s,t>0,P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$

なる等式を満たすことをいう。すなわち、時刻 テンプレート:Mvar までに事象が生起しなかったという情報が与えられたとき、その事象がさらに テンプレート:Mvar 時間の間生起しない条件付き確率は、（時刻 テンプレート:Mvar まで事象が生起しなかったという情報が完全に忘れ去られ、改めてその時点から観測を始めて）テンプレート:Mvar 時間の間事象が生起しない確率に一致するという意味である。

上述した累積分布関数の定義より、指数分布に従う確率変数がこの性質を満たすことは容易に示されるテンプレート:Sfn。逆に、この性質を満たす連続確率分布が指数分布のみであることも証明されているテンプレート:Sfn。

生成

逆関数法を用いて指数分布に従う確率変数を生成することができる。一様乱数 $U(0,1)$で、$x\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )$ は以下の式で得られる:

$x=-\frac{1}{\lambda }\ln U$

参考文献

• テンプレート:Cite book

関連項目

• 確率分布
• ポアソン分布
• ワイブル分布
• ガンマ分布
• ラプラス分布 - 二重指数分布
• 待ち行列理論、ケンドールの記号 - 基本的な待ち行列モデルの一つであるM/M/1モデルは、到着がポアソン過程となり（したがって到着間隔は指数分布に従う）、サービス時間が指数分布に従う。
• テンプレート:仮リンク

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語