ラプラス分布

テンプレート:確率分布 ラプラス分布（ラプラスぶんぷ、テンプレート:Lang-en-short）は連続確率分布の一つで、二重指数分布（テンプレート:Lang-en-short）、両側指数分布とも呼ばれる。ラプラス変換で有名なフランスの数学者ピエール＝シモン・ラプラスによって名付けられた。

定義と性質

確率変数を実数 テンプレート:Mvar (テンプレート:Math2) とするときのラプラス分布の確率密度関数は以下の式で定義される。

$f(x;\mu ,b)=\frac{1}{2b}\exp (-\frac{|x-\mu |}{b})$

テンプレート:Ill $\mu$、テンプレート:Ill $b$ について、

$f(x;\mu ,b)=\frac{1}{b}f(\frac{x-\mu }{b};0,1)$

累積分布関数は

$\begin{array}{cc}F(x;\mu ,b)& =\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\exp \left(\frac{x-\mu }{b}\right)& (x<\mu )\\ 1-\frac{1}{2}\exp (-\frac{x-\mu }{b})& (x\ge \mu )\end{array}\\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{sgn}(x-\mu )(1-\exp (-\frac{|x-\mu |}{b}))\end{array}$

期待値は テンプレート:Mvar、分散は テンプレート:Math である。歪度は テンプレート:Math、尖度は テンプレート:Math である。

サンプリング

ラプラス分布の標本は以下の手法でランダムサンプリングできる。

逆関数法

ラプラス分布は逆関数法を用いることで一様分布からランダムサンプリングできる。

累積分布関数 $y(0\le y\le 1)$ の逆関数は $u=y-1/2(-1/2\le u\le +1/2)$ を用いて次のように表される。

$x=\mu -b\mathrm{sgn}(u)\ln (1-2\left|u\right|)$

ゆえに一様分布からのサンプリング値 $u\sim U(-1/2,+1/2)$ を代入してラプラス分布からのランダムサンプリングが実現できる。

参考文献

• 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
• B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).

関連項目

• 確率分布

外部リンク

• Laplace Distribution -- from Wolfram MathWorld