不完全ガンマ関数

数学において、不完全ガンマ関数（ふかんぜんガンマかんすう、テンプレート:Lang-en-short）あるいは、ルジャンドルの不完全ガンマ関数は、ガンマ関数の一般化の一つ。（完全）ガンマ関数の積分表示から、積分区間の端点の一方（すなわち積分域の始点か終点）を変数に置き換えたものとして定義される。

定義

不完全ガンマ関数には2種類あり、ガンマ関数の積分区間[0,∞]を2つに分けて以下のように定義される。

0以上の実数 x と、 実部が正の複素数 a に対し

第1種不完全ガンマ関数 $\gamma (a,x)$

$\gamma (a,x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}{e}^{-t}dt$

第2種不完全ガンマ関数 $\mathrm{\Gamma }(a,x)$

$\mathrm{\Gamma }(a,x)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{a-1}{e}^{-t}dt$

性質

ガンマ関数の定義は

$\mathrm{\Gamma }(a)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{a-1}{e}^{-t}dt$

であるから、

$\gamma (a,x)+\mathrm{\Gamma }(a,x)=\mathrm{\Gamma }(a)$

となる。

また、不完全ガンマ関数の定義式に部分積分を用いることで

$\begin{array}{cc}\gamma (a+1,x)& =a\gamma (a,x)-x^a{e}^{-x}\\ \mathrm{\Gamma }(a+1,x)& =a\mathrm{\Gamma }(a,x)+x^a{e}^{-x}\end{array}$

という関係が成り立つことも分かる。

さらに、以下のような式が成り立つ。

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(a,0)& =\mathrm{\Gamma }(a)\\ \gamma (a,x)& \to \mathrm{\Gamma }(a)(x\to \mathrm{\infty })\\ \mathrm{\Gamma }(0,x)& =-\mathrm{Ei}(-x)\text{ for }x>0\\ \mathrm{\Gamma }(1/2,x)& =\sqrt{\pi }\mathrm{erfc}\left(\sqrt{x}\right)\\ \gamma (1/2,x)& =\sqrt{\pi }\mathrm{erf}\left(\sqrt{x}\right)\\ \mathrm{\Gamma }(1,x)& =e^{-x}\\ \gamma (1,x)& =1-e^{-x}\end{array}$

ここで、

• Ei : 指数積分
• erf : 誤差関数
• erfc :相補誤差関数で、erfc(x) = 1 − erf(x)

である。

微分

• $\frac{\partial \mathrm{\Gamma }(a,x)}{\partial x}=-\frac{x^{a-1}}{e^x}$

MeijerのG関数から:

$T(m,a,x)=G_{m-1,m}^{m,0}\left(\begin{array}{c}0,0,\dots ,0\\ a-1,-1,\dots ,-1\end{array}|x\right)$

$T(m,a,z)=-\frac{(-1{)}^{m-1}}{(m-2)!}\frac{{\mathrm{d}}^{m-2}}{\mathrm{d}{t}^{m-2}}[\mathrm{\Gamma }(a-t)z^{t-1}]{|}_{t=0}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{a-1+n}}{n!(-a-n{)}^{m-1}}$ 時 $|z|<1$

• $\frac{\partial \mathrm{\Gamma }(a,x)}{\partial a}=\ln x\mathrm{\Gamma }(a,x)+xT(3,a,x)$
• $\frac{{\partial }^2\mathrm{\Gamma }(a,x)}{\partial a^2}={\ln }^{2}x\mathrm{\Gamma }(a,x)+2x[\ln xT(3,a,x)+T(4,a,x)]$
• $\frac{{\partial }^m\mathrm{\Gamma }(a,x)}{\partial a^m}={\ln }^{m}x\mathrm{\Gamma }(a,x)+mx\sum _{n=0}^{m-1}{P}_n^{m-1}{\ln }^{m-n-1}xT(3+n,a,x)$ と $P_j^n=\left(\begin{array}{c}n\\ j\end{array}\right)j!=\frac{n!}{(n-j)!}.$

参考文献

• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6.)
• G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
• W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, and W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.2.)

関連項目

• 関数一覧
• ガンマ関数
• ゼータ関数
• ベータ関数
• 階乗
• 特殊関数
• 複素解析

外部リンク

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