カウフマン多項式のソースを表示

{{distinguish|[[ブラケット多項式|カウフマンブラケット]]}}
[[結び目理論]]における'''カウフマン多項式'''（カウフマンたこうしき、{{lang-en-short|''Kauffman polynomial''}}）は、{{仮リンク|ルイス・カウフマン (数学者)|en|Louis Kauffman|label=ルイス・カウフマン}}に因む二変数{{仮リンク|結び目多項式|en|knot polynomial}}である<ref>{{Cite journal|last=Kauffman|first=Louis|date=1990|title=An Invariant of Regular Isotopy|url=http://homepages.math.uic.edu/~kauffman/IRH.pdf|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=318|issue=2|pages=417-471|doi=10.1090/S0002-9947-1990-0958895-7|pmid=|access-date=2016-09-02|via=}}</ref>。カウフマン多項式はまず、{{仮リンク|絡み目 (結び目理論)|en|link (knot theory)|label=絡み目}}図式に対して
: <math>F(K)(a,z)=a^{-w(K)}L(K)</math>
と定められる。ただし {{math|''w''(''K'')}} はこの絡み目図式 {{mvar|K}} の[[ひねり数]]で、{{mvar|K}} の {{mvar|L}}-多項式 {{math|''L''(''K'')}} は以下の性質によって絡み目図式上定義される二変数 {{mvar|a, z}} に関する多項式である:
* {{math|1=''L''(''O'') = 1}} （{{mvar|O}} は自明な結び目）;
* {{math|1=''L''(''s{{sub|r}}'') = ''aL''(''s'')}}, {{math|1=''L''(''s{{sub|ℓ}}'') = ''a''{{sup|&minus;1}}''L''(''s'')}};
* {{mvar|L}} は[[ライデマイスター移動|ライデマイスター II と III]] で不変である。
ここに、{{mvar|s}} は結び目の弦 (strand) で {{mvar|s{{sub|r}}}} および {{mvar|s{{sub|ℓ}}}} は、同じ弦 {{mvar|s}} にそれぞれ右手および左手ひねりを、ライデマイスター I を用いて加えたものとする。

さらに {{mvar|L}} はカウフマンの[[スケイン関係式]]: [[file:Kauffman poly.png|center|300px|カウフマン多項式のスケイン関係式]] を満足しなければならない。上式において各項の図は、特定部分の円板の中だけが示された通り異なるが外側ではまったく一致するような絡み目図式たちの {{mvar|L}}-多項式 を表している。

カウフマンはこのような {{mvar|L}} が存在し、そのような {{mvar|L}} は無向絡み目の{{仮リンク|正則同位|en|regular isotopy}}不変量であることを示した。ここから容易に {{mvar|F}} が有向絡み目の{{仮リンク|全同位|en|ambient isotopy}}不変量となることが従う。

[[ジョーンズ多項式]]はカウフマン多項式の、{{mvar|L}}-多項式として[[ブラケット多項式]]をとったときの、特別の場合である。カウフマン多項式は {{math|''SO''(''N'')}} に対する[[チャーン&ndash;シモンズ理論|チャーン&ndash;シモンズのゲージ理論]]に関係する（[[ホンフリー多項式]]が {{mvar|''SU''(''N'')}} に対するチャーン&ndash;シモンズゲージ理論に関係するのと同じ仕方で）<ref>{{Cite journal|last=Witten|first=Edward|date=1989|title=Quantum field theory and the Jones polynomial|url=https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104178138|journal=Comm. Math. Phys.|volume=121|issue=3|pages=351-399|doi=10.1007/BF01217730|pmid=|access-date=2016-09-02|via=}}</ref>。

== 参考文献 ==
<references />

== 関連文献 ==
* {{cite book|first=Louis|last=Kauffman|title=On Knots|year=1987|isbn=0-691-08435-1}}

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM|urlname= Kauffman_polynomial|title= Kauffman polynomial}}
* {{Knot Atlas|The_Kauffman_Polynomial}}

{{Knot theory}}

{{DEFAULTSORT:かうふまんたこうしき}}
[[Category:結び目理論]]
[[Category:多項式]]
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