カウフマン多項式
テンプレート:Distinguish 結び目理論におけるカウフマン多項式（カウフマンたこうしき、テンプレート:Lang-en-short）は、テンプレート:仮リンクに因む二変数テンプレート:仮リンクである[1]。カウフマン多項式はまず、テンプレート:仮リンク図式に対して
と定められる。ただし テンプレート:Math はこの絡み目図式 テンプレート:Mvar のひねり数で、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-多項式 テンプレート:Math は以下の性質によって絡み目図式上定義される二変数 テンプレート:Mvar に関する多項式である:
- テンプレート:Math （テンプレート:Mvar は自明な結び目）;
- テンプレート:Math, テンプレート:Math;
- テンプレート:Mvar はライデマイスター II と III で不変である。
ここに、テンプレート:Mvar は結び目の弦 (strand) で テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar は、同じ弦 テンプレート:Mvar にそれぞれ右手および左手ひねりを、ライデマイスター I を用いて加えたものとする。
さらに テンプレート:Mvar はカウフマンのスケイン関係式:
を満足しなければならない。上式において各項の図は、特定部分の円板の中だけが示された通り異なるが外側ではまったく一致するような絡み目図式たちの テンプレート:Mvar-多項式 を表している。
カウフマンはこのような テンプレート:Mvar が存在し、そのような テンプレート:Mvar は無向絡み目のテンプレート:仮リンク不変量であることを示した。ここから容易に テンプレート:Mvar が有向絡み目のテンプレート:仮リンク不変量となることが従う。
ジョーンズ多項式はカウフマン多項式の、テンプレート:Mvar-多項式としてブラケット多項式をとったときの、特別の場合である。カウフマン多項式は テンプレート:Math に対するチャーン–シモンズのゲージ理論に関係する（ホンフリー多項式が テンプレート:Mvar に対するチャーン–シモンズゲージ理論に関係するのと同じ仕方で）[2]。