カタラン予想のソースを表示

'''カタラン予想'''（カタランよそう、{{Lang-en-short|Catalan's conjecture}}）とは、[[1844年]]に[[ベルギー人]]の数学者・[[ウジェーヌ・シャルル・カタラン]]が提示した予想である。[[2002年]]に[[プレダ・ミハイレスク]]によりその完全な[[証明 (数学)|証明]]が行われた<ref>Mihăilescu(2004). これに先立ってBull. AMS誌の記事 Metsänkylä, Tauno (2003) でその概略が解説されている。</ref>。2005年に、自身で証明を簡素化した<ref>[http://www.uni-math.gwdg.de/preda/mihailescu-papers/catber.pdf REFLECTION, BERNOULLI NUMBERS AND THE PROOF  OF CATALAN'S CONJECTURE](英語)</ref>。

== 予想の内容 ==
次の[[ディオファントス方程式|不定方程式]]について、
:''x{{sup|a}}'' &minus; ''y{{sup|b}}'' = 1
:''x'', ''a'', ''y'', ''b'' > 1
上記を満たす[[自然数]]解の組み合わせは
:''x'' = 3, ''a'' = 2, ''y'' = 2, ''b'' = 3
だけであるというものである。

== 歴史 ==
この問題の歴史は、少なくとも[[ゲルソニデス]]にまでさかのぼる。ゲルソニデスは1343年に、この予想の特殊なケースとして (''x'', ''y'') が (2, 3) または (3, 2) の場合を証明した。1850年にヴィクトル・アメデ・レベスグが ''b'' =2 の場合を扱ったのが、カタランが予想を立ててから最初の重要な進歩であった<ref>{{Citation|title=Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation ''x<sup>m</sup>''=''y''<sup>2</sup>+1|last=Victor-Amédée Lebesgue|author-link=Victor-Amédée Lebesgue|year=1850|journal=Nouvelles annales de mathématiques|series=1<sup>re</sup> série|volume=9|pages=178–181}}</ref>。

1976年、 {{仮リンク|ロバート・タイデマン|en|Robert Tijdeman}}は超越数論の[[ベイカーの定理|ベイカーの方法]]を適用して ''a'', ''b'' の境界を定め、 ''x,'' ''y'' を ''a, b'' で制限する既存の結果を用いて、 ''x,'' ''y,'' ''a,'' ''b'' の有効な上限を与えた。ミシェル・ランゲビンはこの上限を <math>\exp \exp \exp \exp 730 \approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}</math> と計算した<ref>{{Citation|title=13 Lectures on Fermat's Last Theorem|last=Ribenboim|first=Paulo|author-link=Paulo Ribenboim|year=1979|publisher=[[Springer-Verlag]]|page=236|isbn=0-387-90432-8|zbl=0456.10006}}</ref>。これにより、有限の数の場合を除いてカタラン予想が解決された。それにもかかわらず、定理を証明するために必要な有限の計算は、時間がかかりすぎるものであった。

カタラン予想は、2002年4月に[[プレダ・ミハイレスク]]によって証明され、2004年の ''[[クレレ誌|Journal für die reine  und angewandte Mathematik]]'' に掲載された。この証明は[[円分体]]と[[ガロワ加群]]の理論を多用している。証明の解説は、セミネール・ブルバキのユーリ・ビルが行っている<ref>{{Citation|title=Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Exposés 909-923|last=Bilu|first=Yuri|year=2004|series=Astérisque|volume=294|pages=1–26|chapter=Catalan's conjecture|chapter-url=http://www.numdam.org/book-part/SB_2002-2003__45__1_0/}}</ref>。2005年、ミハレスクは簡略化された証明を公開した<ref>{{Harvnb|Mihăilescu|2005}}</ref>。

== 一般化 ==
すべての自然数 ''n'' に対して、差が ''n'' となる[[累乗数]]のペアは有限にしか存在しないと考えられている。以下のリストで、 ''n&nbsp;≤&nbsp;''64 に対する10<sup>18</sup>未満の累乗数について全ての解を示す（{{OEIS2C|id=A076427}}）。最小解（ &#x3E;&nbsp;0）は{{OEIS2C|id=A103953}} を参照せよ。
{| class="wikitable" style="border:none;text-align:right;"
!''n''
!解の個数
!''k'' と ''k'' + ''n'' がいずれも累乗数となる数 ''k''
| rowspan="33" style="padding:2px;background:white;border:none;" |
!''n''
!解の個数
!''k'' と ''k'' + ''n'' がいずれも累乗数となる数 ''k''
|-
|1
|1
| style="text-align:left" |8
|33
|2
| style="text-align:left" |16, 256
|-
|2
|1
| style="text-align:left" |25
|34
|0
| style="text-align:left" |''none''
|-
|3
|2
| style="text-align:left" |1, 125
|35
|3
| style="text-align:left" |1, 289, 1296
|-
|4
|3
| style="text-align:left" |4, 32, 121
|36
|2
| style="text-align:left" |64, 1728
|-
|5
|2
| style="text-align:left" |4, 27
|37
|3
| style="text-align:left" |27, 324, {{Val|14348907}}
|-
|6
|0
| style="text-align:left" |''none''
|38
|1
| style="text-align:left" |1331
|-
|7
|5
| style="text-align:left" |1, 9, 25, 121, {{Val|32761}}
|39
|4
| style="text-align:left" |25, 361, 961, {{Val|10609}}
|-
|8
|3
| style="text-align:left" |1, 8, {{Val|97336}}
|40
|4
| style="text-align:left" |9, 81, 216, 2704
|-
|9
|4
| style="text-align:left" |16, 27, 216, {{Val|64000}}
|41
|3
| style="text-align:left" |8, 128, 400
|-
|10
|1
| style="text-align:left" |2187
|42
|0
| style="text-align:left" |''none''
|-
|11
|4
| style="text-align:left" |16, 25, 3125, 3364
|43
|1
| style="text-align:left" |441
|-
|12
|2
| style="text-align:left" |4, 2197
|44
|3
| style="text-align:left" |81, 100, 125
|-
|13
|3
| style="text-align:left" |36, 243, 4900
|45
|4
| style="text-align:left" |4, 36, 484, 9216
|-
|14
|0
| style="text-align:left" |''none''
|46
|1
| style="text-align:left" |243
|-
|15
|3
| style="text-align:left" |1, 49, {{Val|1295029}}
|47
|6
| style="text-align:left" |81, 169, 196, 529, 1681, {{Val|250000}}
|-
|16
|3
| style="text-align:left" |9, 16, 128
|48
|4
| style="text-align:left" |1, 16, 121, 21904
|-
|17
|7
| style="text-align:left" |8, 32, 64, 512, {{Val|79507}}, {{Val|140608}}, {{Val|143384152904}}
|49
|3
| style="text-align:left" |32, 576, {{Val|274576}}
|-
|18
|3
| style="text-align:left" |9, 225, 343
|50
|0
| style="text-align:left" |''none''
|-
|19
|5
| style="text-align:left" |8, 81, 125, 324, {{Val|503284356}}
|51
|2
| style="text-align:left" |49, 625
|-
|20
|2
| style="text-align:left" |16, 196
|52
|1
| style="text-align:left" |144
|-
|21
|2
| style="text-align:left" |4, 100
|53
|2
| style="text-align:left" |676, {{Val|24336}}
|-
|22
|2
| style="text-align:left" |27, 2187
|54
|2
| style="text-align:left" |27, 289
|-
|23
|4
| style="text-align:left" |4, 9, 121, 2025
|55
|3
| style="text-align:left" |9, 729, {{Val|175561}}
|-
|24
|5
| style="text-align:left" |1, 8, 25, 1000, {{Val|542939080312}}
|56
|4
| style="text-align:left" |8, 25, 169, 5776
|-
|25
|2
| style="text-align:left" |100, 144
|57
|3
| style="text-align:left" |64, 343, 784
|-
|26
|3
| style="text-align:left" |1, {{Val|42849}}, {{Val|6436343}}
|58
|0
| style="text-align:left" |''none''
|-
|27
|3
| style="text-align:left" |9, 169, 216
|59
|1
| style="text-align:left" |841
|-
|28
|7
| style="text-align:left" |4, 8, 36, 100, 484, {{Val|50625}}, {{Val|131044}}
|60
|4
| style="text-align:left" |4, 196, {{Val|2515396}}, {{Val|2535525316}}
|-
|29
|1
| style="text-align:left" |196
|61
|2
| style="text-align:left" |64, 900
|-
|30
|1
| style="text-align:left" |6859
|62
|0
| style="text-align:left" |''none''
|-
|31
|2
| style="text-align:left" |1, 225
|63
|4
| style="text-align:left" |1, 81, 961, {{Val|183250369}}
|-
|32
|4
| style="text-align:left" |4, 32, 49, 7744
|64
|4
| style="text-align:left" |36, 64, 225, 512
|}

== ピライの予想 ==
{{Unsolved|数学|各正の整数が累乗数の差として現れる回数は高々有限回か？}}
'''ピライの予想'''（{{Lang-en-short|Pillai's conjecture}}）は、累乗数（{{OEIS|id=A001597}}）の一般的な違いに関するものである。これは、{{仮リンク|スバッヤ・ピライ|en|Subbayya Sivasankaranarayana Pillai}}が最初に提示した未解決問題であり、累乗数の列の差は無限大になる傾向があるという予想である。この予想は、各正の整数が累乗数の差として有限回しか現れないと言い換えられる。より一般に、1931年に、ピライは、固定された正の整数 ''A, B, C'' に対して、方程式 <math>Ax^n - By^m = C</math> は有限の数の解 (''x'', ''y'', ''m'', ''n'') しか持たないことを予想した。ただし、解は (''m'',&nbsp;''n)'' ≠ (2,&nbsp;2) とする。ピライは、1未満の λ について、差 <math>|Ax^n - By^m| \gg x^{\lambda n}</math> は ''m'' と ''n'' で均一になることを証明した<ref name="rnt">{{Citation|title=Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT|last=Narkiewicz|first=Wladyslaw|year=2011|url=https://archive.org/details/rationalnumberth00nark|publisher=[[Springer-Verlag]]|series=Springer Monographs in Mathematics|pages=[https://archive.org/details/rationalnumberth00nark/page/n261 253]–254|isbn=978-0-857-29531-6}}</ref>。

この一般化された予想は[[ABC予想]]から導かれると考えられている<ref name="rnt">{{Citation|title=Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT|last=Narkiewicz|first=Wladyslaw|year=2011|url=https://archive.org/details/rationalnumberth00nark|publisher=[[Springer-Verlag]]|series=Springer Monographs in Mathematics|pages=[https://archive.org/details/rationalnumberth00nark/page/n261 253]–254|isbn=978-0-857-29531-6}}</ref><ref>{{Citation|title=Diophantine approximations and Diophantine equations|last=Schmidt|first=Wolfgang M.|author-link=Wolfgang M. Schmidt|year=1996|edition=2nd|publisher=[[Springer-Verlag]]|series=Lecture Notes in Mathematics|volume=1467|page=207|isbn=3-540-54058-X|zbl=0754.11020}}</ref>。

[[ポール・エルデシュ]]は、いくつかの正の定数 ''c'' とすべての十分に大きな ''n'' に対して、累乗数の昇順列 <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> が <math>a_{n+1} - a_n > n^c</math> を満たすと予想した{{要出典|date=May 2017}}。

== 外部リンク ==
*[http://www.maa.org/mathland/mathtrek_06_24_02.html Ivars Peterson's MathTrek]
*{{MathWorld|urlname=CatalansConjecture|title=Catalan's conjecture}}
* [http://www.math.ubc.ca/~bennett/paper19.pdf On difference of perfect powers]
* Jeanine Daems: [https://web.archive.org/web/20060221125555/http://www.math.leidenuniv.nl/~jdaems/scriptie/Catalan.pdf A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture]

== 参考文献 ==
*{{Citation|title=Catalan's conjecture (after Mihăilescu)|last=Bilu|first=Yuri|year=2004|journal=[[Astérisque]]|volume=294|pages=vii, 1–26|mr=2111637}}
* {{Citation|title=Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur|last=Catalan|first=Eugene|year=1844|url=https://zenodo.org/record/1448842|journal=[[J. Reine Angew. Math.]]|volume=27|pages=192|language=fr|doi=10.1515/crll.1844.27.192|mr=1578392}}
* Section D9 in Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition, Springer-Verlag, 2004.
* {{Cite conference|last=Cohen|first1=Henri|year=2005|title=Démonstration de la conjecture de Catalan|language=fr|trans-title=A proof of the Catalan conjecture|conference=Théorie algorithmique des nombres et équations diophantiennes|publisher=Éditions de l'École Polytechnique|place=Palaiseau|isbn=2-7302-1293-0|pages=1–83}}
* Metsänkylä, Tauno (2003).  [http://www.ams.org/bull/2004-41-01/S0273-0979-03-00993-5/S0273-0979-03-00993-5.pdf Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved], ''Bull. (New Ser.) Amer. Math. Soc.'' '''41''' (1), 43&ndash;57.
* {{Citation|title=Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved|last=Metsänkylä|first=Tauno|year=2004|url=https://www.ams.org/journals/bull/2004-41-01/S0273-0979-03-00993-5/S0273-0979-03-00993-5.pdf|journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]|volume=41|number=1|pages=43–57|doi=10.1090/S0273-0979-03-00993-5|mr=2015449}}
* {{Citation|title=Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture|last=Mihăilescu|first=Preda|author-link=Preda Mihăilescu|year=2004|journal=[[J. Reine Angew. Math.]]|volume=2004|number=572|pages=167–195|doi=10.1515/crll.2004.048|mr=2076124}}
* {{Citation|title=Reflection, Bernoulli numbers and the proof of Catalan's conjecture|last=Mihăilescu|first=Preda|year=2005|url=https://www.uni-math.gwdg.de/preda/mihailescu-papers/catber.pdf|journal=European Congress of Mathematics|publisher=Eur. Math. Soc.|pages=325-340|place=Zurich|mr=2185753}}
* {{Citation|title=Catalan's Conjecture|last=Ribenboim|first=Paulo|author-link=Paulo Ribenboim|year=1994|publisher=Academic Press, Inc.|place=Boston, MA|isbn=0-12-587170-8|mr=1259738}}  Predates Mihăilescu's proof.
* {{Citation|title=On the equation of Catalan|last=Tijdeman|first=Robert|author-link=Robert Tijdeman|year=1976|url=https://www.impan.pl/shop/publication/transaction/download/product/100989?download.pdf|journal=[[Acta Arith.]]|volume=29|number=2|pages=197–209|doi=10.4064/aa-29-2-197-209|mr=0404137}}
* T. N. Shorey and R. Tijdeman, Exponetial Diophantine Equations, Cambridge Tracts in Mathematics, 87, Cambridge University Press, 1986.

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
<references />

== 関連項目 ==
*[[累乗]]
*[[累乗数]]
**[[平方数]]
**[[立方数]]
*[[フェルマー＝カタラン予想]]
* [[ビール予想]]
* [[方程式x^y=y^x]]
* [[モーデル曲線]]
* [[ラマヌジャン・スコーレムの定理|ラマヌジャン・ナーゲル方程式]]
* {{仮リンク|ストーマーの定理|en|Størmer's theorem}}
* {{仮リンク|タイデマンの定理|en|Tijdeman's theorem}}
{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:かたらんよそう}}
[[Category:数論の定理]]
[[Category:ディオファントス方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:証明された予想]]
[[Category:数学のエポニム]]