カタラン予想

カタラン予想（カタランよそう、テンプレート:Lang-en-short）とは、1844年にベルギー人の数学者・ウジェーヌ・シャルル・カタランが提示した予想である。2002年にプレダ・ミハイレスクによりその完全な証明が行われた。2005年に、自身で証明を簡素化した。

予想の内容

次の不定方程式について、

xテンプレート:Sup − yテンプレート:Sup = 1

x, a, y, b > 1

上記を満たす自然数解の組み合わせは

x = 3, a = 2, y = 2, b = 3

だけであるというものである。

歴史

この問題の歴史は、少なくともゲルソニデスにまでさかのぼる。ゲルソニデスは1343年に、この予想の特殊なケースとして (x, y) が (2, 3) または (3, 2) の場合を証明した。1850年にヴィクトル・アメデ・レベスグが b =2 の場合を扱ったのが、カタランが予想を立ててから最初の重要な進歩であった。

1976年、 テンプレート:仮リンクは超越数論のベイカーの方法を適用して a, b の境界を定め、 x, y を a, b で制限する既存の結果を用いて、 x, y, a, b の有効な上限を与えた。ミシェル・ランゲビンはこの上限を $\exp \exp \exp \exp 730\approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}$ と計算した。これにより、有限の数の場合を除いてカタラン予想が解決された。それにもかかわらず、定理を証明するために必要な有限の計算は、時間がかかりすぎるものであった。

カタラン予想は、2002年4月にプレダ・ミハイレスクによって証明され、2004年の Journal für die reine und angewandte Mathematik に掲載された。この証明は円分体とガロワ加群の理論を多用している。証明の解説は、セミネール・ブルバキのユーリ・ビルが行っている。2005年、ミハレスクは簡略化された証明を公開した。

一般化

すべての自然数 n に対して、差が n となる累乗数のペアは有限にしか存在しないと考えられている。以下のリストで、 n ≤ 64 に対する10¹⁸未満の累乗数について全ての解を示す（テンプレート:OEIS2C）。最小解（ > 0）はテンプレート:OEIS2C を参照せよ。

n	解の個数	k と k + n がいずれも累乗数となる数 k		n	解の個数	k と k + n がいずれも累乗数となる数 k
1	1	8		33	2	16, 256
2	1	25		34	0	none
3	2	1, 125		35	3	1, 289, 1296
4	3	4, 32, 121		36	2	64, 1728
5	2	4, 27		37	3	27, 324, テンプレート:Val
6	0	none		38	1	1331
7	5	1, 9, 25, 121, テンプレート:Val		39	4	25, 361, 961, テンプレート:Val
8	3	1, 8, テンプレート:Val		40	4	9, 81, 216, 2704
9	4	16, 27, 216, テンプレート:Val		41	3	8, 128, 400
10	1	2187		42	0	none
11	4	16, 25, 3125, 3364		43	1	441
12	2	4, 2197		44	3	81, 100, 125
13	3	36, 243, 4900		45	4	4, 36, 484, 9216
14	0	none		46	1	243
15	3	1, 49, テンプレート:Val		47	6	81, 169, 196, 529, 1681, テンプレート:Val
16	3	9, 16, 128		48	4	1, 16, 121, 21904
17	7	8, 32, 64, 512, テンプレート:Val, テンプレート:Val, テンプレート:Val		49	3	32, 576, テンプレート:Val
18	3	9, 225, 343		50	0	none
19	5	8, 81, 125, 324, テンプレート:Val		51	2	49, 625
20	2	16, 196		52	1	144
21	2	4, 100		53	2	676, テンプレート:Val
22	2	27, 2187		54	2	27, 289
23	4	4, 9, 121, 2025		55	3	9, 729, テンプレート:Val
24	5	1, 8, 25, 1000, テンプレート:Val		56	4	8, 25, 169, 5776
25	2	100, 144		57	3	64, 343, 784
26	3	1, テンプレート:Val, テンプレート:Val		58	0	none
27	3	9, 169, 216		59	1	841
28	7	4, 8, 36, 100, 484, テンプレート:Val, テンプレート:Val		60	4	4, 196, テンプレート:Val, テンプレート:Val
29	1	196		61	2	64, 900
30	1	6859		62	0	none
31	2	1, 225		63	4	1, 81, 961, テンプレート:Val
32	4	4, 32, 49, 7744		64	4	36, 64, 225, 512

ピライの予想

テンプレート:Unsolved ピライの予想（テンプレート:Lang-en-short）は、累乗数（テンプレート:OEIS）の一般的な違いに関するものである。これは、テンプレート:仮リンクが最初に提示した未解決問題であり、累乗数の列の差は無限大になる傾向があるという予想である。この予想は、各正の整数が累乗数の差として有限回しか現れないと言い換えられる。より一般に、1931年に、ピライは、固定された正の整数 A, B, C に対して、方程式 $A{x}^n-B{y}^m=C$ は有限の数の解 (x, y, m, n) しか持たないことを予想した。ただし、解は (m, n) ≠ (2, 2) とする。ピライは、1未満の λ について、差 $|A{x}^n-B{y}^m|\gg x^{\lambda n}$ は m と n で均一になることを証明した。

この一般化された予想はABC予想から導かれると考えられている。

ポール・エルデシュは、いくつかの正の定数 c とすべての十分に大きな n に対して、累乗数の昇順列 $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ が $a_{n+1}-a_n>n^c$ を満たすと予想したテンプレート:要出典。

外部リンク

• Ivars Peterson's MathTrek
• テンプレート:MathWorld
• On difference of perfect powers
• Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture

参考文献

• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
• Section D9 in Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition, Springer-Verlag, 2004.
• テンプレート:Cite conference
• Metsänkylä, Tauno (2003). Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved, Bull. (New Ser.) Amer. Math. Soc. 41 (1), 43–57.
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation Predates Mihăilescu's proof.
• テンプレート:Citation
• T. N. Shorey and R. Tijdeman, Exponetial Diophantine Equations, Cambridge Tracts in Mathematics, 87, Cambridge University Press, 1986.

関連項目

• 累乗
• 累乗数
  • 平方数
  • 立方数
• フェルマー＝カタラン予想
• ビール予想
• 方程式x^y=y^x
• モーデル曲線
• ラマヌジャン・ナーゲル方程式
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク